Irfy
02-12-2003, 08:00
Vollte mal mit Doris zustimmen - der andere Weg gibt genau dasselbe: 1/3
Mir war es leichter das Ganze durch einen 3D Graph vorzustellen. (Und mit den doppelten Integralen auszurechnen :devil: )
Also, T1 und T2 sind uniform verteilte (implicit laut Angabe) SG-en und zwar mit U[0,1]. Jede hat f(x)=1 als die DF (damit die Flaeche unter der Kurve 1 ist). In 3D heisst das, dass man ein quadrat mit den Eckpunkten (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) als der Merkmalraum fuer (T1,T2) hat, wobei die verteilungsfunktion g(x,y)=1 ist (da die SG-en unabhaengig voneinander sind und das Volumen unter g(x,y) 1 sein muss, ist das ganze einfach ein Wuerfel). Nach dem Satz vom unbewussten Statistiker, ist dann ED (D=|T1-T2|) gleich
1 1
∫dT1∫|T1-T2|dT2
0 0
Wenn man ∫|T1-T2|dT2 integriert bekommt man (T2-T1)|T1-T2|. Wenn die Grenzwerte gesetzt werden -> T1^2-T1+1/2. Ein Integral davon ist T1^3/3-T1^2/2+T1/2, und mit den Grenzwerten -> 1/3.
[
Wenn jemandem nich offensichtlich ist wie man mit ∫|T1-T2|dT2 auf (T2-T1)|T1-T2| kommt, hier ist ne erklaerung: Sei T1=a und T2=t und I unser Integral:
I=∫|a-t|dt.
Mit x=a-t => dx=-dt bekommt man:
I=-∫|x|dx <=> -I=∫|x|dx (Vorzeichen!).
Weil |x|=xsign(x), ist dann _________(1)
-I=∫sign(x)*xdx.
Parziell integriert mit u=sign(x) und dv=xdx: (-I=uv-∫vdu, wobei v=∫dv=x^2/2 und du=d(sign(x))/dx=0 fuer alle x [da bei x=0 sowohl die linke als auch die rechte Ableitung 0 ist, und auch fuer x/=0 die Ableitung offensichtlich 0 ist] )
-I=x^2/2*sign(x)-∫sign(x)*0dx=x^2/2*sign(x)-C=x|x|/2 (Wegen (1), und weil die Konstante faelt wenn wir das unbestimmte integral eigentlich fuer ein bestimmtes Intgeral brauchen). Zurueck mit x=a-t:
-I=(a-t)|a-t| <=> I=(t-a)|a-t|.
Zurueck zum T1, T2:
∫|T1-T2|dT2=(T2-T1)|T1-T2|, q.e.d.
]
Doris, in welche Gruppe bist du?
-- Irfy
Mir war es leichter das Ganze durch einen 3D Graph vorzustellen. (Und mit den doppelten Integralen auszurechnen :devil: )
Also, T1 und T2 sind uniform verteilte (implicit laut Angabe) SG-en und zwar mit U[0,1]. Jede hat f(x)=1 als die DF (damit die Flaeche unter der Kurve 1 ist). In 3D heisst das, dass man ein quadrat mit den Eckpunkten (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) als der Merkmalraum fuer (T1,T2) hat, wobei die verteilungsfunktion g(x,y)=1 ist (da die SG-en unabhaengig voneinander sind und das Volumen unter g(x,y) 1 sein muss, ist das ganze einfach ein Wuerfel). Nach dem Satz vom unbewussten Statistiker, ist dann ED (D=|T1-T2|) gleich
1 1
∫dT1∫|T1-T2|dT2
0 0
Wenn man ∫|T1-T2|dT2 integriert bekommt man (T2-T1)|T1-T2|. Wenn die Grenzwerte gesetzt werden -> T1^2-T1+1/2. Ein Integral davon ist T1^3/3-T1^2/2+T1/2, und mit den Grenzwerten -> 1/3.
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Wenn jemandem nich offensichtlich ist wie man mit ∫|T1-T2|dT2 auf (T2-T1)|T1-T2| kommt, hier ist ne erklaerung: Sei T1=a und T2=t und I unser Integral:
I=∫|a-t|dt.
Mit x=a-t => dx=-dt bekommt man:
I=-∫|x|dx <=> -I=∫|x|dx (Vorzeichen!).
Weil |x|=xsign(x), ist dann _________(1)
-I=∫sign(x)*xdx.
Parziell integriert mit u=sign(x) und dv=xdx: (-I=uv-∫vdu, wobei v=∫dv=x^2/2 und du=d(sign(x))/dx=0 fuer alle x [da bei x=0 sowohl die linke als auch die rechte Ableitung 0 ist, und auch fuer x/=0 die Ableitung offensichtlich 0 ist] )
-I=x^2/2*sign(x)-∫sign(x)*0dx=x^2/2*sign(x)-C=x|x|/2 (Wegen (1), und weil die Konstante faelt wenn wir das unbestimmte integral eigentlich fuer ein bestimmtes Intgeral brauchen). Zurueck mit x=a-t:
-I=(a-t)|a-t| <=> I=(t-a)|a-t|.
Zurueck zum T1, T2:
∫|T1-T2|dT2=(T2-T1)|T1-T2|, q.e.d.
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Doris, in welche Gruppe bist du?
-- Irfy