Beispiel 12 [Archive] - Informatik-Forum.at

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dj_m.o.h.t.

07-05-2002, 09:01

Man untersuche die Funktion f:R^2->R auf Stetigkeit (Hinweis: a+b >= 2 * Wurzel ab für a,b>=0): f(x,y)=xy^2+x^2y / x^2+y^2

lj_scampo

08-05-2002, 01:08

dieses bsp sollte mittels umwandlung in polarkoordinaten zu loesen sein.
aber zunaechst den einfachen teil:
f(x,y) ist stetig in R²\{(0,0)} da f eine komposition von stetigen funktionen ist (nenner kann auch nicht 0 werden, solange nicht x=y=0)

nun die stetigkeit im punkt (0,0):
mit r = Ö(x²+y²) und sin(j) = y/r
werden y = r·sin(j) und x = r·cos(x)

jetzt setzt man das ein und laesst r gegen 0 gehen:
lim[r®0] [r·cos(j)·r²sin²(j)+r²·cos²(j)·r·sin(j)] / [r²·cos²(j)+r²·sin²(j)] = ... (r herausheben, durchkuerzen) ... = 0
Þf(x,y) ist stetig in (0,0), da f(0,0) = lim[(x,y)®(0,0)]f(x,y).

-z0nk-

08-05-2002, 11:07

ist das hier überhaupt nötig ?

man sieht doch auf einen blick, dass der lim f(x,y) für (x,y)-->(0,0) immer 0 ist, da der zähler auf jeden fall null wird (egal von welcher richtung man sich dem punkt (0,0) nähert).

mfg,
-z0nk-

lj_scampo

08-05-2002, 11:22

naja, leider auch der nenner -> division durch null..

Roli

09-05-2002, 14:13

Man untersuche die Funktion f:R^2->R auf Stetigkeit (Hinweis: a+b >= 2 * Wurzel ab für a,b>=0): f(x,y)=xy^2+x^2y / x^2+y^2

a+b >= 2 sqrt(ab) ->
x²+y² >= 2 sqrt(x²y²)= 2xy

lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

ginge so doch auch oder hab i was vergessen?

mfg
Roli

bluefoxx

10-05-2002, 12:23

@Roli:

lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

gehört da nicht >= statt <= ?

oder irre ich mich?

mfg bFXx

Roli

10-05-2002, 15:57

@bluefoxx:

wenn a>=b und 1/a = x dann ist 1/b >= x

Begründung:
a>=b -> 1/a <= 1/b -> x=1/a <= 1/b -> 1/b >= x

mfg
Roli

bluefoxx

10-05-2002, 16:27

dankeeeee!! gecheckt...

mfg bFXx

Roli

10-05-2002, 16:56

hi

auf den 2. blick gehts auch einfacher - war mal wieder ganz blind *ggg*

a >= b -> 1/a <= 1/b
müßte ja auch genügen ;)

Roli

dj_m.o.h.t.

12-05-2002, 12:07

lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0

=> überall stetig

Filz

12-05-2002, 23:20

@Roli

Obwohl es logisch klingt:
Darf man einfach annehmen, dass

lim [(x,y)->(0,0)] f(x,y) <= lim [(x,y)->(0,0)] g(x,y)

wenn gilt: f(x,y) <= g(x,y) ?

Shade

13-05-2002, 11:42

@roli
lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0
ich versteh den beweis net ganz.du hast doch gezeigt das das kleiner gleich 0 ist.das heist doch auch dass die funktion zb.gegen -1 gehen könnte und dann wär sie nicht konvergent.oder sthe ich grad auf der leitung?

Roli

13-05-2002, 12:38

Original geschrieben von Shade
@roli

ich versteh den beweis net ganz.du hast doch gezeigt das das kleiner gleich 0 ist.das heist doch auch dass die funktion zb.gegen -1 gehen könnte und dann wär sie nicht konvergent.oder sthe ich grad auf der leitung?

hmm ne hast schon recht - man müßte wahrscheinlich 2 fälle betrachten:
1. für (xy²+x²y)>0
lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= 0

2. für (xy²+x²y)<0
lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= 0

aus 1. & 2.:
0 >= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= 0

lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) = 0

i hoff diesmal hab i nichts vergessen

würd aber ehrlich gesagt auch die Polardarstellung empfehlen - war auch mein erster Ansatz und hab erst dann den hinweis gesehen

mfg Roli

Shade

13-05-2002, 12:46

aber wenn xy²+x²y<0 ist dann muß doch xoder y < 0 sein.das schliest die bedingung (a,b=>0) doch aus oder?stimmt eigrntlich der ansetzt von robby?der wär am einfachsten.

Roli

13-05-2002, 13:46

Original geschrieben von Shade
aber wenn xy²+x²y<0 ist dann muß doch xoder y < 0 sein.das schliest die bedingung (a,b=>0) doch aus oder?stimmt eigrntlich der ansetzt von robby?der wär am einfachsten.

nein wird nicht ausgeschlossen:
bei uns wäre a=x² und b=y² und somit ist a,b>0 für alle x,y element von R

tja ich glaub du meinste den ansatz mit der polardarstellung oder?
ja der stimmt (meines erachtens)

mfg
Roli

Shade

13-05-2002, 13:52

bin auch grad draufgekommen.
aber ich mein den ansatz:
lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0

Roli

13-05-2002, 14:02

Original geschrieben von Shade
bin auch grad draufgekommen.
aber ich mein den ansatz:
lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0

hmm denk schon, daß er stimmt - sicher bin ich mir aber nicht
ist ähnlich der partiellen ableitung

ehrlich gesagt, würd wirklich die polardarstellung empfehlen, da kann man nichts falsch machen und es kann auch nicht dazu kommen, daß man es nicht schlüssig erklären kann.

naja beim urbanek is es sicher kein problem ;) oder?

Roli

Shade

13-05-2002, 14:07

hab den urbanek nicht mehr.:(
aber ich denk das >= kann man auch so erklären das man sag es gibt einen faktor K mit dem x²+y²=2kx+2ky
aber das würd nix ändern denn:
x/2k+y/2k =0
ist zwar nicht mthemtisch zeigt aber das man sich gedanken gemacht hat:thumb:

Roli

13-05-2002, 14:16

Original geschrieben von Shade
aber ich denk das >= kann man auch so erklären das man sag es gibt einen faktor K mit dem x²+y²=2kx+2ky
aber das würd nix ändern denn:
x/2k+y/2k =0

versteh grad nicht was du schreibst - um ehrlich zu sein

Roli

Shade

13-05-2002, 15:38

es heisst ja
x²+y²>=2xy
und meiner meinung könnte man die durch eine variable k ersetzten so dass die bedingung
x²+y²=kxy erfüllt ist.

Roli

13-05-2002, 17:50

Original geschrieben von Shade
es heisst ja
x²+y²>=2xy
und meiner meinung könnte man die durch eine variable k ersetzten so dass die bedingung
x²+y²=kxy erfüllt ist.

ok - versteh jetzt was du meinst
ich glaub aber, daß k von den Werten, die x und y annehmen abhängig ist:
z.b x=1, y=1
1²+1² = k*1*1 -> k=2
z.b x=2, y=1
2²+1² = k*2*1 -> 5=2k -> k=2,5

das problem liegt nun darin, daß k eine funktion von x und y ist und somit wenn man x gegen null gehen läßt, verändert sich auch k und somit wieder nicht trivial bestimmbar ist.

mfg
Roli

Shade

13-05-2002, 19:43

ich weiss.
aber dieses k würde ja dann im nenner stehen:
x/k+y/k egal wie groß k ist es würde ja bei xy->00
beim ergebniss null bleiben.und k kann nicht null sein,da k min. >=2 sein muß.

Roli

13-05-2002, 20:10

ok verstanden - klingt logisch die erklärung

mfg
Roli