8.1

[sportDoris]

wenn man eine Münze n mal wirft, ist ja die Anzahl der Köpfe:

W(X=k) = (n über k) * (1/2)^n

das ist ja eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p=1/2

bei einer Binomialverteilung weiß ich, dass EX=n*p und VarX=n*p*(1-p)

in der Tschebyscheff'schen Ungleichung heißt das dann:

W( |X-n*p| >=e ) <= n*p*(1-p) / e²

was ich aber eigentlich jeweils möchte, ist W( |X-n*p| <= e ). deswegen forme ich um:

W( |X-n*p| >=e ) = 1 - W( |X-n*p| <= e ) <= n*p*(1-p) / e²

=> W( |X-n*p| <= e ) >= 1 - n*p*(1-p) / e²

da setz ich nun die Werte, die ich brauch, ein.
die exakten Wahrsch. hab ich von meinem Taschenrechner summieren lassen.

(i)
==

W( |X-5| <= 1 ) >= 0
================
W ~ 0,66

(ii)
==

W( |X-50| <= 10 ) >= 0,75
=====================
W ~ 0,96

(iii)
===

W( |X-500| <= 100) >= 0,975
=======================
W ~ hier streikt mein Taschenrechner

bei der ersten sieht man schon, dass die Abschätzung nicht wirklich ein brauchbares Ergebnis liefert, weil >=0 sind nun mal alle Wahrsch, aber es steht ja bei den Folien so und so dabei, dass die Abschätzung nur sehr grob ist.

[Unic0der]

Ich komme da auf was anderes. Glaube aber dass mein Ergebnis falsch ist, weil ich teilweise Ergebnisse über 1 rauskrieg. Aber wer weiß :coolsmile ...

Ich werd's trotzdem mal posten und auf Feedback warten ;) .

[sportDoris]

wie kommst du denn auf e=2? und das bei allen drei Fällen? ich hab nicht lesen können, was da dabei steht, es ist auf alle Fälle falsch. Naja, den Fehler hättest du selber auch finden können, wenn du mit meiner Lösung verglichen hättest...

beim ersten bin ich auf was draufgekommen: ich krieg eigentlich W>=-1,5, was ich dann aber durch 0 ersetzt hab, weils ja sowieso eine Wahrsch. sein sollte...

[Unic0der]

wie kommst du denn auf e=2? und das bei allen drei Fällen?
Na gut, dann will ich's mal erklären: ;)

Ich habe angenommen das e die Abweichung vom Erwartungswert ist.
Mein Erwartungswert ist ja im ersten Fall 5.
Laut Angabe soll ich nun die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zwischen 4 und 6 Köpfe geworfen werden.
-> ich habe eine Abweichung von 1 (4 und 6 sind ja jeweils "1" von 5 entfernt ;) )
Mit einer Abweichung von 1 bin ich aber noch im dem laut Angabe erlaubten Bereich drinnen.
-> nehme ich eine Abwechung vom Erwartungswert von => 2 bin ich aus dem Bereich draussen.

jetzt klar? ;)

In einem Punkt gebe ich dir sofort Recht: Nämlich dass mein zweites und drittes e natürlich nicht 2 sein können. Da hab ich schlampig gerechnet ;) .


Naja, den Fehler hättest du selber auch finden können, wenn du mit meiner Lösung verglichen hättest...

Und wer sagt mir dass deine Lösung richtig ist :) ?

[sportDoris]

ups, da hab ich wohl nicht aufgepasst, dass es ja eine diskrete Verteilung ist... natürlich gehört beim ersten e=2, dann e=11 und dann e=101, dann stimmen meine Werte nicht ganz...

[Feierteifl]

also wir haben für

zwischen 4 und 6: 0,375

zwischen 40 und 60: 0,7934

zwischen 400 und 600: 0,97549

wenn man es wohlgemerkt nach eurer Lösung rechnet *gg* ;)

noch eine Frage zum schluss.... das klingt ja zwar alles logisch, was ihr da habt, aber
1. war das schon alles?! irgenwie kommt mir das beispiel verdächtig kurz vor

2. wenn ich mir das jetzt aus dem Stehgreif überlegt hätte, dann hätte ich getippt, das die Wahrscheinlichkeiten, egal wie gross die Anzahl der Versuche ist, gleich bleibt.... und jetzt versteh ich nicht ganz, wieso sich dieser Wert doch ändert, weil sich das Verhältnis relativ zu den Versuchen ja nicht ändert

[Unic0der]

1. war das schon alles?! irgenwie kommt mir das beispiel verdächtig kurz vor

Das ist tatsächlich schon alles. Was würdest du denn sonst noch ausrechnen wollen? Aber du kannste ja noch n paar Intervalle freiwillig ausrechen, wennst Lust hast ;)


2. wenn ich mir das jetzt aus dem Stehgreif überlegt hätte, dann hätte ich getippt, das die Wahrscheinlichkeiten, egal wie gross die Anzahl der Versuche ist, gleich bleibt...
Deswegen war dieses Semester ja auch schon ein paar Mal in der Angabe "schätzen sie zuerst". Eben weil man sich beim ersten Mal hinsehen oft täuschen kann. Die Formel in die ich eingesetzt hab ist aber sicher die Korrekte. An einer logischen Erklärung in Worten feile ich aber auch noch. Wenn ich's hab poste ichs - wenn mir nicht schon wer anderer zuvorkommen sollte :) ...

[Feierteifl]

war ja keine kritik....

hat mich nur gewundert, wenn man die letzten übungszettel zum Vergleich nimmt....

[Unic0der]

war ja keine kritik....

hat mich nur gewundert, wenn man die letzten übungszettel zum Vergleich nimmt....
Hab ich eh nicht so aufgefasst :D . Mit dem letzen Übungsblatt würd ich's aber nicht vergleichen, weil dass war echt ein sch*&/$$.
Ich bin froh, dass die Beispiele diesmal wieder leichter sind/waren :D :D . Jetzt besteht wieder die reelle Chance, dass ich die Übung bestehe ;) ...

[sportDoris]

...
Mit dem letzen Übungsblatt würd ich's aber nicht vergleichen, weil dass war echt ein sch*&/$$.
...

naja, jeder hat ein anderes Themengebiet, das im liegt oder auch nicht...
Außerdem sind die anderen Beispiele ja eh nicht sooo wahnsinnig leicht, ich finds grad richtig.

Dieses Beispiel 1 ist halt so eines, wo nicht das Rechnen das schwierige ist, sonder der Aha-Effekt wahrscheinlich ziemlich wichtig ist...

[Unic0der]

die exakten Wahrsch. hab ich von meinem Taschenrechner summieren lassen.
Ich hab gerade versucht mir die exakten Wahrscheinlichkeiten auszurechen - wieder komm ich aber auf was anderes.
Sagt's mal in welche Formel habt's ihr für die exakte Wahrscheinlichkeit eingesetzt? :) Vielleicht hab ich da die falsche verwendet (würd's mir selbst zutrauen ;) )...

[attire]

Hallo,

wäre es möglich, daß mir irgendwer von euch erklärt, was die Tschebyscheffsche Ungleichung aussagt, vor allem folgender Teil:
|X - EX|

Vielen Dank.

[ChristofNeutron]

ups, da hab ich wohl nicht aufgepasst, dass es ja eine diskrete Verteilung ist... natürlich gehört beim ersten e=2, dann e=11 und dann e=101, dann stimmen meine Werte nicht ganz...

Naja, sollte das nicht eher e=2; e=20 und e=200 heißen?

und wie rechnet man jetzt wirklich die exakten Wahrscheinlichkeiten aus? könnte es mit sum(k,20-40)[(100 über k)*p^100] sein? gibts da nicht irgendeine Formel mit der man das auch auf einem echt primitive Taschenrechner ausrechnen kann (oder überhaupt im kopf)?

[Unic0der]

Naja, sollte das nicht eher e=2; e=20 und e=200 heißen?In dem Fall muss ich mich selber quoten ;) :

Also e = 2 kriegst du wie folgt:

Na gut, dann will ich's mal erklären: ;)

Ich habe angenommen das e die Abweichung vom Erwartungswert ist.
Mein Erwartungswert ist ja im ersten Fall 5.
Laut Angabe soll ich nun die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zwischen 4 und 6 Köpfe geworfen werden.
-> ich habe eine Abweichung von 1 (4 und 6 sind ja jeweils "1" von 5 entfernt ;) )
Mit einer Abweichung von 1 bin ich aber noch im dem laut Angabe erlaubten Bereich drinnen.
-> nehme ich eine Abwechung vom Erwartungswert von => 2 bin ich aus dem Bereich draussen.
Wenn man analog vorgeht kommt man nun auf die anderen Werte:

für E(X) = 50:
-> ich habe eine Abweichung von 10 (40 und 60 sind ja jeweils "10" von 50 entfernt ;) )
Mit einer Abweichung von 10 bin ich aber noch im dem laut Angabe erlaubten Bereich drinnen.
-> nehme ich eine Abwechung vom Erwartungswert von => 11 bin ich aus dem Bereich draussen.

für E(X) = 500:
-> ich habe eine Abweichung von 100 (400 und 600 sind ja jeweils "100" von 500 entfernt ;) )
Mit einer Abweichung von 100 bin ich aber noch im dem laut Angabe erlaubten Bereich drinnen.
-> nehme ich eine Abwechung vom Erwartungswert von => 101 bin ich aus dem Bereich draussen.

Ich hoffe jetzt ist's klar wie sportDoris und ich auf die Werte kommen :) . Und mir erscheint das zumindest auch logisch.
Vielleicht könntest du mal erklären wie du auf 2, 20 und 200 kommst - würd' mich interessieren.


und wie rechnet man jetzt wirklich die exakten Wahrscheinlichkeiten aus?das wüsste ich selber auch noch gern :D

[ChristofNeutron]

Ahhhhhhha. Ich hab das falsch verstanden. Ich dachte, dass man da den Bereich der drinnen liegt +-1 oder +-10 oder +-100 addiert. Das würde dann einen Bereich von 2, 20 oder 200 ergeben -> Blödsinn, da gibts ja einerseits die Betragstricherln und andererseits mein Unverständnis von Wahrscheinlichkeiten die das widerlegen ;)

Eure Zahlen stimmen natürlich :) danke für die genaue Erklärung.

Na ich schätze für die exakten Wahrscheinlichkeiten werde ich dann Mathematica bemhühen müssen, wenn ich wieder zuhause bin.

[die gute seite]

Muss man um die exakten Wahrscheinlichkeiten auszurechnen nicht einfach in dir Formel für die Binomialverteilung einsetzen?
Ich hab z.B. für
(i) W(X=4)+W(X=5)+W(X=6) =0.65625

die anderen hab ich mir grad mit Mathematica ausrechnen lassen:
(ii) 0.7934
(iii)1-10^-10

[Da Charli]

man könnte ja auch sagen, das ist

W(a<X<=b);

zb.:
zw 4 und 6:
W(3<X<=6) = 0,65625;

zw 40 und 60:
W(39<X<=60) = 0,9648

zw 400 und 600:

W(399<X<=600) = ?

ausrechnen muß man es mit der binominalvert. mit der VF:

SUM((n über k)*p^k*(1-p)^(n-k),k,0,b) - SUM((n über k)*p^k*(1-p)^(n-k),k,0,a)

b=obergrenz und a = untergrenze;

könnte das so gehen??

[ChristofNeutron]

Ja, so geht's ja auch, aber 200 (eigentlich würden 100 reichen) additionen "zu Fuß" zu machen, kann ja mathematisch nicht unbedingt als "schön" betrachtet werden (und ist mit einem kleinen Taschenrechner auch nicht wirklich in einer endlichen Zeit zu lösen. Also hab ich mich gefragt, ob man da nicht was mit Integration lösen könnte.
Mit Mathematica oder einem TI92 ist das natürlich kein Problem (nur hab ich beides erst wieder morgen ;) )

[Sensei]

Hi!
Kann nochmal jemand zusammenfassend die errechneten ungefähren Ergebnisse und die exakten ergebnisse anschreiben?
Bin da jetzt etwas durcheinander gekommen...

thx

[Quartz]

hi,

eine Frage warum muss ich aus dem Bereich draussen sein sprich e = 2
bei zB 4-6 mal werfen.

Resultiert das aus der Umformung der Tschebytscheffgleichung?

[sportDoris]

Hallo,

wäre es möglich, daß mir irgendwer von euch erklärt, was die Tschebyscheffsche Ungleichung aussagt, vor allem folgender Teil:
|X - EX|

Vielen Dank.
das |X-EX| heißt, dass X vom Erwartungswert so weit weg ist...

sonst empfehl ich dir, mal das Bsp. 8.2 auch genauer anzuschauen, da wird schon einiges klarer...

[sportDoris]

...
Also hab ich mich gefragt, ob man da nicht was mit Integration lösen könnte.
...
nö, Integration heißt Summation über unendlich viele Werte (sprich alle reellen) in einem gewissen Intervall. wenn man eine Summe über endlich viele Werte (z.B. alle natürlichen in einem Intervall) hat, geht das nur über Summation...

[sportDoris]

hi,

eine Frage warum muss ich aus dem Bereich draussen sein sprich e = 2
bei zB 4-6 mal werfen.

Resultiert das aus der Umformung der Tschebytscheffgleichung?
nö, das ist die (exakte) Gegenwahrscheinlichkeit für diskrete Sachen:

NICHT zwischen 4 und 6 heißt, bis 3 oder ab 7, sprich von mü 2 weg

[sportDoris]

Muss man um die exakten Wahrscheinlichkeiten auszurechnen nicht einfach in dir Formel für die Binomialverteilung einsetzen?
Ich hab z.B. für
(i) W(X=4)+W(X=5)+W(X=6) =0.65625

die anderen hab ich mir grad mit Mathematica ausrechnen lassen:
(ii) 0.7934
(iii)1-10^-10
Wie hast du da genau gerechnet? ich hab nämlich gerade meine Werte (aus dem allerersten Posting) noch mal genau überprüft, die sollten passen...

also ich setz in diese Formel ein:

W(a<=X<=b) = Sum (i von a bis b) (n über i) * (1/2)^n

[Unic0der]

also ich setz in diese Formel ein:

W(a<=X<=b) = Sum (i von a bis b) (n über i) * (1/2)^n
Könnte mir wer erklären wie man genau auf diese Formel kommt. Ich steh nämlich bei den exakten Wahrscheinlichkeiten leider noch immer an :( .

Je ausführlicher eine eventuelle Erklärung für deren Berechnung ausfällt, desto besser ;) ...

[die gute seite]

Wie hast du da genau gerechnet? ich hab nämlich gerade meine Werte (aus dem allerersten Posting) noch mal genau überprüft, die sollten passen...

also ich setz in diese Formel ein:

W(a<=X<=b) = Sum (i von a bis b) (n über i) * (1/2)^n
Ich hab die gleiche Formel verwendet, und hab grad gemerkt dass ich aus Versehen das geschätzte Ergebnis bei (ii) gepostet hab. Entschuldigung!

Hier meine exakten Mathematica-Ergebnisse:

(ii) 0.9648 (hat sportDoris ja auch)
(iii) 1-10^-10

[die gute seite]

Könnte mir wer erklären wie man genau auf diese Formel kommt. Ich steh nämlich bei den exakten Wahrscheinlichkeiten leider noch immer an :( .

Je ausführlicher eine eventuelle Erklärung für deren Berechnung ausfällt, desto besser ;) ...
Also, hierbei handelt es sich um eine Binomialverteilung (da man n unabhängige Alternativversuche hat), wie sportDoris in einem älteren Post schon mal bemerkt hat. Und die Formel für die Binomialverteilung ist ja:
W{X=k}=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)
In unserem Fall ist ja p=1/2 (für Kopf bzw. Zahl), wenn du das dann einsetzt und zusammenfasst kommst du auf
W{X=k}=(n über k)*(1/2)^n

Und wenn du die Wahrscheinlichkeit für k zwischen a und b ausrechnen willst, dann musst du einfach die Wahrscheinlichkeiten der enizelnen k-Werte summieren. Ist es dir jetzt klarer?

[Unic0der]

Jo, super! :) Jetzt ist's klar!

[JayJay]

ich (also eigentlich wir) habe da ein kleines JavaProgramm geschrieben und den Wert für die Wahrscheinlichkeit W{400<=X<=600} berechnet.

W{400<=X<=600} = 0.9999999998198321

... falls es wen interessiert =)

lg JayJay & Co.

[lEn00x]

vielleicht ist das jetzt eine dumme frage, aber ich verstehe es trotzdem nicht ;):

Wofür berechnet man "W( |X-5| <= 1 ) >= 0",...?
Die exakten Wahrscheinlichkeiten erhalte ich doch eh über W(a<=X<=b)=Summe(formel für binomialverteilung)

grüße,

[Unic0der]

Wofür berechnet man "W( |X-5| <= 1 ) >= 0",...?
Das kann ich dir verraten ;). Das hat nämlich mit der exakten Wahrscheinlichkeit nix zu tun. Die findest du nämlich in der Zeile darunter.

Viel mehr war das der Versuch von sportDoris die Wahrscheinlichkeit "abzuschätzen".

[che]

hab da mal ne frage.
also mir kommt für das erste ( W X=5 <=1)
0.375 raus und nicht wie bei sportdoris 0.66

seh ich das richtig das ich für p =1/2 immer einsetze
n von 10,100,1000
und e variert von 2, 11 und 101??

[che]

Wie hast du da genau gerechnet? ich hab nämlich gerade meine Werte (aus dem allerersten Posting) noch mal genau überprüft, die sollten passen...

also ich setz in diese Formel ein:

W(a<=X<=b) = Sum (i von a bis b) (n über i) * (1/2)^n


was setz ma in sum (i von a bis b ) (n über i ) ein???

ich habs mit der eignetlichen binomial formel probiert bei k=5 und n=10 stimmts noch
aber dann nicht mehr!!

[Tubul]

nö, das ist die (exakte) Gegenwahrscheinlichkeit für diskrete Sachen:

NICHT zwischen 4 und 6 heißt, bis 3 oder ab 7, sprich von mü 2 weg
hmm..wär zwischen 4 und 6 nicht eigentlich NUR 5? somit die gegenwahrscheinlichkeit bis 4 oder ab 6? hat zwar nichts mim rechenweg zu tun, aber trotzdem..? grad weils diskret is..

[Irfy]

hmm..wär zwischen 4 und 6 nicht eigentlich NUR 5? somit die gegenwahrscheinlichkeit bis 4 oder ab 6? hat zwar nichts mim rechenweg zu tun, aber trotzdem..? grad weils diskret is..Denk amal: wenn es so gemeint waere, wuerde es nicht "...mit der genau 5..." im Beispiel stehen ;) Haette nix zu tun mit Tschebi ;)

[Tubul]

Denk amal: wenn es so gemeint waere, wuerde es nicht "...mit der genau 5..." im Beispiel stehen ;) Haette nix zu tun mit Tschebi ;)
aaber es wären die erweiterungen mit 40/60 und 400/600 blöd zu schreiben:)
kann ja sein dass sie auf das nicht so geachtet haben..aber eigentlich is zwischen=>zwischen;)

egal, werd wohl auch 2/11/101 nehmen..:distur: zu wenig zustimmung hier

[Tubul]

W( |X-n*p| >=e ) = 1 - W( |X-n*p| <= e ) <= n*p*(1-p) / e²


fallt mir grad auf.. wärs ned eigentlich

W( |X-n*p| >= e ) = 1 - W( |X-n*p| < e )

?