sportDoris
27-11-2003, 13:50
X nicht negative SG, EX=mü.
z.z: W(X>=a) <= mü/a (a>0)
naja, mit dem Hinweis, dass man wie beim Beweis der Tschebyscheff'schen Ungleichung vorgehen soll, ist das ganze nicht mehr wirklich schwer...
mü / a = 1/a * Int(0 bis unendl) x * f(x) dx = ...
von 0 weg deswegen, weil ich von vorn herein weiß, dass x nicht negativ sein kann.
Ich trenne das Integral in "von 0 bis a" und "von a bis unendl" und nehm das 1/a jeweils hinein:
... = Int (0 bis a) x/a*f(x) dx + Int(a bis unendl) x/a * f(x) dx >= ...
das erste Integral ist ja sicher positive: x ist positiv, a ist positiv und f(x) ist die Dichtefunktion, also per Definitionem auch positiv. also kann ich das erste Integral weglassen und werde nun kleiner:
... >= Int(a bis unendl) x/a * f(x) dx >= ...
nachdem x bei diesem Integral erst bei a anfängt, ist x/a sicher immer ein Faktor >= 1. Wenn ich diesen Faktor nun weglasse, werde ich sicher wieder kleiner:
... >= Int (a bis unendl) f(x) dx = W(X>=a) q.e.d.
nun noch die Frage, wie man daraus die Tschebyscheff'sche Ungl. folgern kann:
in der Tschebyscheff'schen Ungleichung such ich ja:
W(|X-EX|>=e) = ...
da e und |X-EX| beide positiv sind, kann ich quadrieren und es ändert sich nichts:
... = W( (X-EX)²>=e²) <= ...
laut Markoff'scher Ungl. ist das aber kleiner gleich dem Erwartungswert vom linken durch das rechte:
... <= E( (X-EX)² ) / e² = Var X / e² q.e.d.
z.z: W(X>=a) <= mü/a (a>0)
naja, mit dem Hinweis, dass man wie beim Beweis der Tschebyscheff'schen Ungleichung vorgehen soll, ist das ganze nicht mehr wirklich schwer...
mü / a = 1/a * Int(0 bis unendl) x * f(x) dx = ...
von 0 weg deswegen, weil ich von vorn herein weiß, dass x nicht negativ sein kann.
Ich trenne das Integral in "von 0 bis a" und "von a bis unendl" und nehm das 1/a jeweils hinein:
... = Int (0 bis a) x/a*f(x) dx + Int(a bis unendl) x/a * f(x) dx >= ...
das erste Integral ist ja sicher positive: x ist positiv, a ist positiv und f(x) ist die Dichtefunktion, also per Definitionem auch positiv. also kann ich das erste Integral weglassen und werde nun kleiner:
... >= Int(a bis unendl) x/a * f(x) dx >= ...
nachdem x bei diesem Integral erst bei a anfängt, ist x/a sicher immer ein Faktor >= 1. Wenn ich diesen Faktor nun weglasse, werde ich sicher wieder kleiner:
... >= Int (a bis unendl) f(x) dx = W(X>=a) q.e.d.
nun noch die Frage, wie man daraus die Tschebyscheff'sche Ungl. folgern kann:
in der Tschebyscheff'schen Ungleichung such ich ja:
W(|X-EX|>=e) = ...
da e und |X-EX| beide positiv sind, kann ich quadrieren und es ändert sich nichts:
... = W( (X-EX)²>=e²) <= ...
laut Markoff'scher Ungl. ist das aber kleiner gleich dem Erwartungswert vom linken durch das rechte:
... <= E( (X-EX)² ) / e² = Var X / e² q.e.d.