8.6

[Unic0der]

Zwei Fragen hier:

1) Was in aller Welt soll die Abkürzung "SGn" in der Angabe bedeuten?

und

2) Wie kann ich mir den Erwartungswert von R berechnen? (Buch/Folie Seitenangabe wär nicht schlecht? ;) )

Hoffe ihr könnt's mir so bald wie möglich helfen :D !

[Blaster]

Zwei Fragen hier:

1) Was in aller Welt soll die Abkürzung "SGn" in der Angabe bedeuten?


Hoffe ihr könnt's mir so bald wie möglich helfen :D !

SGn wird Stochastische Größen bedeuten

[sportDoris]

@MacOS X: wenn du selbst in den Folien kurz schauen würdest, hättest die Formel schnell gefunden...

hier mal meine Lösung: X und Y sind ja gemeinsam normalverteilt. In den Folien unter Punkt 18.1 findet man die Formel für die Dichtefunktion von gemeinsam normalverteilten Größen. Mit unseren Parametern mü und sigma eingesetzt, kriegt man:

f(x,y) = 1/(2*pi*sigma²) * e^[-(x²+y²)/(2*sigma²)]

ich soll jetzt für die Funktion R(x,y) = sqrt(x²+y²) den Erwartungswert berechnen. Hier kann man ganz einfach den Satz vom unbewussten Statistiker anwenden:

ER = Int(y von -unendl bis unendl) Int(x von -unendl bis unendl) R(x,y)*f(x,y) dx dy

der nächste Hinweis ist auch gut brauchbar: das Integral wird wirklich um einiges einfacher, wenn man in Polarkoordinaten umwandelt:

x(r,phi)=r*cos(phi)
y(r,phi)=r*sin(phi)

jetzt muss man aufpassen, weil man bei Substitution das ganze noch mit der Funktionaldeterminante multiplizieren muss:

(dx/dr ... dx/dphi ) = (cos(phi) ... -r*sin(phi) )
(dy/dr ... dy/dphi ) = (sin(phi) ... r*cos(phi) )

die Determinante dieser Matrix ist r.

die Grenzen muss ich auch noch bestimmen:
normalerweise, um die ganze Ebene abzudecken, lässt man phi einmal im Kreis herum gehen, und den Radius von 0 bis unendl.
Man kann das aber auch anders machen: man lässt phi nur einen halben Kreis gehen, und den Radius von -unendl bis unendl, dann deckt man auch die ganze Ebene ab:
r von -unendl bis unendl
phi von 0 bis pi

ich integriere von über die Funktion:

r * 1/(2*pi*sigma²) * e^[-r²/(2*sigma²)] * r

das erste r entsteht dadurch, dass sqrt(x²+y²) ja r wird, das hinterste r ist die Funktionaldeterminante

das innere Integral soll nun für phi von 0 bis pi dphi sein. Da aber in der Funktion kein einziges phi vorkommt, ist das vom phi her gesehen eine Konstante, also integriert eine Konstante mal phi, die Grenzen eingesetzt hab ich an der oberen *pi und an der unteren sowieso 0.

Ich hab also für das äußere Integral:

Int(r von -unendl bis unendl) (r² * 1/(2*sigma²) * e^(-r²/(2*sigma²))

das pi im Nenner ist ja durch das pi, das dazumultipliziert worden ist, aufgehoben worden.

bevor ich dieses Integral berechne, heb ich noch sqrt(pi)/(sqrt(2)*sigma) heraus, ihr werdet gleich sehn, warum.
ich lass jetzt diesen Faktor erst mal weg und schreib das Integral an:
dass ich statt r r-0 schreib, hat auch einen Sinn...

Int(r von -unendl bis unendl) ((r-0)² * 1/sqrt(2*pi*sigma²) * e^[-(r-0)²/(2*sigma²)]

wenn man sich das genau anschaut, ist das das Integral, das man braucht, um die Varianz einer stochastischen Größe (r in unserem Fall) mit den Parametern mü=0 und sigma zu berechnen. (r-0)² ist ja in dem Fall (X-EX)² und der Rest ist die Formel für die Dichte einer solchen Verteilung (siehe Folien Punkt 9.4)

Die Varianz einer solchen Verteilung kennen wir aber, die ist sigma² (siehe Folien Punkt 12.2), also ist dieses Integral auch sigma². Mit dem Faktor, den ich vorher herausgehoben hab, bekomm ich:

ER = sqrt(pi/2) * sigma
=================

[sportDoris]

und noch eine kleine Ankündigung: ich bin diese WE von morgen Früh bis Sonntag Abend im Ausland und wahrscheinlich ohne Internet, also kann ich Fragen erst wieder am Montag beantworten, oder heute noch...

[Unic0der]

Meine Fragen zur Ausarbeitung von sportDoris:

jetzt muss man aufpassen, weil man bei Substitution das ganze noch mit der Funktionaldeterminante multiplizieren muss:

(dx/dr ... dx/dphi ) = (cos(phi) ... -r*sin(phi) )
(dy/dr ... dy/dphi ) = (sin(phi) ... r*cos(phi) ) Was ist eine Funktionaldeterminante? Ist das nur ein anderes Wort für Determinante ;) oder was eigenes?


ich integriere von über die Funktion:

r * 1/(2*pi*sigma²) * e^[-r²/(2*sigma²)] * r

das erste r entsteht dadurch, dass sqrt(x²+y²) ja r wird, das hinterste r ist die Funktionaldeterminante

1) Wie setzt du das ein?
2) Wieso multplizierst du an den Exponenten die Funktionaldeterminante r dran?
3) Wie kommst du drauf, dass "sqrt(x²+y²) ja r wird"?


das innere Integral soll nun für phi von 0 bis pi dphi sein. Da aber in der Funktion kein einziges phi vorkommt, ist das vom phi her gesehen eine Konstante, also integriert eine Konstante mal phi, die Grenzen eingesetzt hab ich an der oberen *pi und an der unteren sowieso 0.

Ich hab also für das äußere Integral:

Int(r von -unendl bis unendl) (r² * 1/(2*sigma²) * e^(-r²/(2*sigma²))

Wieso bei dem "äusseren Integral" das Pi wegfällt ist mir ja noch halbwegs klar, aber woher kommt plötzlich das r^2 ?

Ich weiß, ich hab diesmal wieder viele Fragen -
aber ich hoffe es findet sich wer der sie mir beantwortet *g* :) .

[sportDoris]

Meine Fragen zur Ausarbeitung von sportDoris:

Was ist eine Funktionaldeterminante? Ist das nur ein anderes Wort für Determinante ;) oder was eigenes?

das ist die Determinante der Funktionalmatrix. Die Funktionalmatrix ist genau jene welche, die ich da aufgeschrieben hab. wennst mehr wissen willst, schau in einem Skript / Buch zu Mathe 2.


1) Wie setzt du das ein?
2) Wieso multplizierst du an den Exponenten die Funktionaldeterminante r dran?
3) Wie kommst du drauf, dass "sqrt(x²+y²) ja r wird"?

1) na ich setz für x r*cos(phi) und für y r*sin(phi) ein und vereinfache...
2) r multiplizier ich nicht an den Exponenten (sonst hätt ich es mit in eine Klammer geschrieben), sondern an die ganze Funktion. näheres siehe wieder "Substitution bei Integralen mehrstelliger Funktionen" bei Mathe 2
3) setz bei sqrt(x²+y²) für x und y die Substitution ein, dann kriegst du r²*(sin²+cos²), sin²+cos²=1 und sqrt(r²)=r


Wieso bei dem "äusseren Integral" das Pi wegfällt ist mir ja noch halbwegs klar, aber woher kommt plötzlich das r^2 ?
...

das kommt daher, dass bei der vorigen Zeile am Anfang ein r* und am Schluss ein *r gestanden sind...

[Unic0der]

Wieso bei dem "äusseren Integral" das Pi wegfällt ist mir ja noch halbwegs klar, aber woher kommt plötzlich das r^2 ? Beim nochmaligen durchdenken jetzt grade ist mir plötzlich doch nimmer ganz so klar wieso das Pi wegfällt.

Maybe one can tell me :) ?!

[sportDoris]

Beim nochmaligen durchdenken jetzt grade ist mir plötzlich doch nimmer ganz so klar wieso das Pi wegfällt.

Maybe one can tell me :) ?!
lies dir meine Lösung nochmal durch, da wird erklärt, dass beim inneren Integral ein *(pi-0) dazukommt...

[Unic0der]

bevor ich dieses Integral berechne, heb ich noch sqrt(pi)/(sqrt(2)*sigma) heraus
Also diesen Schritt mit dem rausheben verstehe ich echt noch nicht. Vor allem: Woher kommen da plötzlich die Wurzeln und vor allem - wieso taucht hier plötzlich wieder das Pi auf? Ich mein mit dem Pi hebst du ja was raus, was gar nicht vorhanden ist ;) .

[Irfy]

@MacOS X
"irgendwas" kan man als "wasanders" * ("irgendwas"/"wasanders") schreiben, nicht? (solange "wasanders" /= 0 ;)) Im konkreten Beispiel, du musst irgendwie das Integral auf etwas was du schon kennst umwandeln. Das Integral ist doch aenlich zum phi(x) bei der normalen Verteilung, jedoch brauchst du wurzel 2pi anstatt 2 und ein sigma weniger im Nenner... Dazu betrachtet man 1/(2*sigma²) und schreibt das als 1/(2*sigma²) * (sigma*sqrt(2/pi)/ (sigma*sqrt(2/pi)) ) also, 1/(sigma*sqrt(2/pi)) * 1/[ sqrt(2pi)) * sigma ], und nimmt der erste Teil heraus. Wenn du 1/(sigma*sqrt(2/pi)) * 1/[ sqrt(2pi)) * sigma ] multiplizierst, kuerzt sich pi und pi, sqrt2*sqrt2 -> 2 und sigma*sigma -> sigma², also dasselbe wie vorher...

Ich hab's ganz aenlich wie Doris gemacht, nur mit phi von 0 bis 2pi und r von 0 bis unendlich, und natuerlich - dasselbe kommt heraus. Good job Doris :thumb:

Edit: Noch dazu zu addieren: Derive gibt dieselbe Ergebniss wie bei mir und Doris, also dass _muss_ stimmen :devil:

[ChristofNeutron]

Also habs direkt über die Gama-Funktion gerechnet und bekomm ER=2*sqr(2)*sigma raus ???

int(r,0-unendl.) int(phi,0-2*pi) [r*r/(2*pi*sigma^2)*e^(-(r^2)/(2*sigma^2))] d(phi) dr

durch die innere int kommt 2*pi dazu und wird zu

int(r,0-unendl.) int(phi,0-2*pi) [ r*r/sigma^2*e^(-(r^2)/(2*sigma^2))] dr

subst: t=r/(sqr(2)*sigma) dt=1/(sqr(2)*sigma) ergibt

sqr(2)*sigma*int(t,0-unendl.)[t^2*e^-t]dt = sqr(2)*sigma*Gamma(3) = sqr(2)*sigma*2

ich weiß jetzt nur nicht ob ich einen Fehler drinn hab, weils ja doch ein anderes ergebnis ist?