8.5

[Unic0der]

Hab mir gerade mal Beispiel 8.5 angeschaut und bin zur Erkenntnis gekommen, dass ich keinen Schimmer habe in welche "Formel" ich hier einsetzen muss, um auf ein Ergebnis zu kommen.

Habt ihr euch schon das Ding angeschaut und könnt mir da einen Tip geben, wo ich da im Buch/Folien nachschauen muss? :)

[sportDoris]

naja, es ist halt nicht immer nur Formel-einsetzen. wenn man bei dem Beispiel ein bisschen überlegt, braucht man gar keine Formel mehr...

um der Vorstellung etwas nachzuhelfen, hab ich eine kleine Graphik angehängt, bitte die mal anschauen...

In der Graphik ist das schwarze Dreieck jenes, wo es überhaupt eine Dichtefunktion gibt. d.h. wenn man integriert, um auf eine Verteilungsfunktion oder dergleichen zu kommen, braucht man nur dieses schwarze Dreieck zu berücksichtigen.

Gesucht ist ja W(X>t, Y>t), das sind die für verschieden t färbig angedeuteten Rechtecke.

für das grüne Rechteck ist es ziemlich einfach: sämtliche Bereiche, wo die Dichtefunktion überhaupt existiert, liegen in dem Rechteck, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit für t<=100 1.

für das rote Rechteck ist es ebenso einfach: kein Bereich der Dichtefunktion liegt im Rechteck, man integriert also immer über 0. die gesuchte Wahrsch. ist also für t>=120 0.

wirklich interessant ist es nur für 100<=t<=120. ein solches Rechteck ist das blaue. Hier müssen wir wirklich das Integral ausrechnen, weil nur ein Teil der Dichtefunktion gebraucht wird.

ich muss mir die Grenzen für das Integral überlegen: y geht ja von t bis 120. Wenn man sich nun eine horizontale Linie bei einem y (irgendwo dazwischen vorstellt), geht das x ja von t bis y. Ich hab also:

Int(y von t bis 120) Int(x von t bis y) 1/200 dx dy.

das innere Integral:
Int(x von t bis y) 1/200 dx = 1/200*x (von t bis y) = (y-t)/200

das äußere Integral:
Int(y von t bis 120) (y-t)/200 dy = y²/400 - t*y/200 (von t bis 120) =
= 120²/400 - t*120/200 - t²/400 + t²/200 = 36 + t²/400 - 3*t/5

=> W(X>t,Y>t) = 36 + t²/400 - 3*t/5 für 100<=t<=120
==========================================

[_ElGato_]

=> W(X>t,Y>t) = 36 + t²/400 - 3*t/5 für 100<=t<=120
==========================================

ist das, was du hier ausrechnest, nicht W(X<=t, Y<=t)??? (auf grund der integralgrenzen).
dann sollte ja W(X>t, Y>t) = 1 - (36 + t² .....) sein?!

[_ElGato_]

ist das, was du hier ausrechnest, nicht W(X<=t, Y<=t)??? (auf grund der integralgrenzen).
dann sollte ja W(X>t, Y>t) = 1 - (36 + t² .....) sein?!

hmmm... nach mehrmaligen hinsehen schaut's dann aber wieder ganz richtig aus.

ich glaub aber, dass es formal korrekt wäre, wenn die integralgrenzen so wären:

y von t bis x
x von t bis 120

weil ja im bereich, über den integriert wird, die x-komponente horizontal konstant gerade liegt, und die y-komponente eigentlich eine funktion der form y = x ist.

sollte aber keinen unterschied ausmachen!

[sportDoris]

hmmm... nach mehrmaligen hinsehen schaut's dann aber wieder ganz richtig aus.

ich glaub aber, dass es formal korrekt wäre, wenn die integralgrenzen so wären:

y von t bis x
x von t bis 120

weil ja im bereich, über den integriert wird, die x-komponente horizontal konstant gerade liegt, und die y-komponente eigentlich eine funktion der form y = x ist.

sollte aber keinen unterschied ausmachen!
wenn du die Grenzen so nehmen möchtest, muss aber das innere Integral über y sein, und das äußere dann über x, dann kommt aber genau dasselbe heraus...

[Dimitrij]

wirklich interessant ist es nur für 100<=t<=120. ein solches Rechteck ist das blaue. Hier müssen wir wirklich das Integral ausrechnen, weil nur ein Teil der Dichtefunktion gebraucht wird.

ich muss mir die Grenzen für das Integral überlegen: y geht ja von t bis 120. Wenn man sich nun eine horizontale Linie bei einem y (irgendwo dazwischen vorstellt), geht das x ja von t bis y. Ich hab also:

Int(y von t bis 120) Int(x von t bis y) 1/200 dx dy.

das innere Integral:
Int(x von t bis y) 1/200 dx = 1/200*x (von t bis y) = (y-t)/200

das äußere Integral:
Int(y von t bis 120) (y-t)/200 dy = y²/400 - t*y/200 (von t bis 120) =
= 120²/400 - t*120/200 - t²/400 + t²/200 = 36 + t²/400 - 3*t/5

=> W(X>t,Y>t) = 36 + t²/400 - 3*t/5 für 100<=t<=120
========================================== ich hab dasselbe Ergebnis.
man muss hier aber nicht wirklich integrieren, sondern man kann auch einfach den Flächeninhalt des blauen Dreiecks berechnen und mit der Dichtefunktion multiplizieren.
der Flächeninhalt ist: 1/2*(120-t)^2
das ergibt nach Multiplikation mit 1/200 wieder dasselbe Ergebnis.

Diese Methode funktioniert nur, weil die Dichtefunktion innerhalb des blauen Dreiecks konstant ist.

[Sebi]

tschuldigung, aber mit integralen steh ich ein bisschen auf kriegsfuß...

könnte mir jemand ein bisschen genauer erklären, wie man auf diese Grenzen kommt? Ich weiß nicht mal ob man beim äußeren Integral beginnt und dann nach innen geht, oder umgekehrt....

und dazu find ich auch in den folien nicht viel, nur dass über B integriert wird...

wär super
danke schon mal
sebi

[Sensei]

@ Dimitrij: kannst du auch noch kurz erklären, wie du darauf gekommen bist?

thx

[Dimitrij]

@ Dimitrij: kannst du auch noch kurz erklären, wie du darauf gekommen bist?

thx
da die Dichtefunktion konstant ist, kann man sie aus dem Integral herausheben.
das übrigbleibende Integral ist: Integral Integral dxdy über dem Bereich des Dreiecks, und das ist eben der Flächeninhalt des Dreiecks.
(Man kann sich vorstellen, dass das Dreieck aus vielen kleinen Flächenelementen dA besteht; deren Flächeninhalt ist: dA=dx*dy.
Das obige Integral ist nichts anderes als die Summe aller dA, aus denen das Dreieck besteht, und daher gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks.)