Bsp 6

[bimbo]

beziehe mich auf das montags-thema und würd sagen lim (x,y)->0 (x^3+y^3)/(x^2+y^2)=0

und da f(0,0) gleich dem lim(0,0) ist is des stetig

kann mich aber irren

[VTEC]

Laut Montags-Gruppe ist das ja _nicht_ stetig, genau dieses Beispiel (5) habe ich im Buch vom Neunzert (Analysis 2) gefunden, unser Beispiel (6) ist das gleiche in grün. Ich werds nochmal versuchen, zu erklären:

Es genügt zu zeigen (um zu beweisen, daß die Funktion nicht stetig ist):

Es gibt eine Folge (ak) [lies: a Index k} im IR² mit lim (k->oo) ak = (0,0), so daß lim (k->oo) f(ak) nicht existiert oder lim (k->oo) f(ak) != 0 = f(0,0) ist.

In meinen Worten: Man muß eine Folge ak finden, die für k gegen unendlich gegen 0 geht, aber wo der Funktionswert von ak für k gegen unendlich entweder nicht existiert oder nicht gegen (0,0) geht.

Sei ak:= (1/k , 0), k Element IN => lim(k->oo) ak=(0,0)

aber:

f(ak)= (1/k³+0) / (1/k²+0) = 1/k alle k Element IN

[edit] sorry - hab mich verschaut: statt 1 kommt 1/k raus!

lim(k->oo) f(ak) = 1/oo = 0 = f(0,0) also doch stetig

Weil mir soo fad war, könnt ihr noch einen Mathematica-Plot mit der Funktion ansehen.

[Dimitrij]

ich glaub, der Kram ist stetig.
man kann Polarkoordinaten verwenden:
x=r*cos(a)
y=r*sin(a)
wenn man das einsetzt und r gegen 0 gehen lässt, kommt 0 raus.

in deinem Plot schaut's auch stetig aus

[VTEC]

Danke Dimitrij, hab mich verschaut und statt 1/k ist mir 1 rausgekommen. Das ganze Beispiel von mir beweist aber leider gar nichts mehr, es ist ja nur eine Funktion, die ich da eingesetzt habe. Die Frage ist wie kann man das wirklich beweisen?

Marcus

[VTEC]

OK, wers noch braucht für Donnerstag oder interessehalber (kleines Scherzchen :-) ):

Eine Möglichkeit, die Stetigkeit zu beweisen, wäre z.B. das "Einsperren" der Funktion:

|x³+y³| <= (x²+y²)*(|x|+|y|) eine Funktion, die mindestens so groß ist wie der Nenner von f(x,y)

0 <= |f(x,y)| <= (x²+y²)*(|x|+|y|)/(x²+y²)

0 <= |f(x,y)| <= |x|+|y|

lim (x,y->0) |x|+|y| = 0 => lim (x,y->0) f(x,y) = 0 q.e.d.

(Das mit den Beträgen kann man noch schöner machen, aber das Prinzip ist richtig).

[skytale]

Original geschrieben von Dimitrij
ich glaub, der Kram ist stetig.
man kann Polarkoordinaten verwenden:
x=r*cos(a)
y=r*sin(a)
wenn man das einsetzt und r gegen 0 gehen lässt, kommt 0 raus.

in deinem Plot schaut's auch stetig aus

Da geht ja der Nenner genauso gegen 0 -> Div durch 0
Darf man das einfach so machen??

[Dimitrij]

Original geschrieben von skytale


Da geht ja der Nenner genauso gegen 0 -> Div durch 0
Darf man das einfach so machen??
der Nenner geht nicht gegen null, weil man vorher r^2 kürzt