7.6

[Unic0der]

Hat hier schon wer einen Lösungsvorschlag :) ?

[sportDoris]

ja, ich, ich schaffs aber jetzt nicht mehr, zu posten, ich mach das morgen in der Früh (so zwischen 8 und 9) ...

[Unic0der]

ja, ich, ich schaffs aber jetzt nicht mehr, zu posten, ich mach das morgen in der Früh (so zwischen 8 und 9) ...
Jup, aber dann bitte sehr detailliert. Weil nachfragen wird sich dann wohl kaum mehr ausgehen ;)

[sportDoris]

naja, so guts halt geht, ich muss nämlich auch noch in eine Vorlesung...

zuerst versuch ich herauszufinden, was dieser Algorithmus überhaupt macht:

nach i Iterationen ist das alpha:

alpha = mü^i * e^-mü / i!

und nachdem ja jedes alpha immer zum F dazugezählt wird, ist das F:

F = Sum (k=0 bis i) mü^i * e^-mü / i!

wenn man sich dieses F genau anschaut, ist das die Verteilungsfunktion einer Poisson-verteilten Größe, so wie's dasteht halt F(i)

gestoppt wird genau dann, wenn das F(i) oder eigentlich das F(x) das U zum ersten mal übersteigt. (wenns vorher schon größer gewesen wäre, hätte es schon bei der vorherigen Iteration gestoppt)

d.h. x ist dann das kleinste x für das F(x) gerade mal größer als U ist. Wenn man sich aber die Definition der Inversen für diskrete Funktionen anschaut, ist das genau das. Ich erklär diese Inverse nochmal:

F^-1(u) = inf{x: F(x)>=u }

inf heißt in dem Fall das kleinste Element der Menge, obwohl man aufpassen muss, dass das inf nicht immer in der Menge sein muss, sondern auch ein Häufungswert sein kann. ein Beispiel dazu: inf{1/n für n natürlich} ist 0, weil die Mengenglieder nach 0 gehen, obwohl 0 nicht in der Menge ist...

zurück zu unserem Algorithmus: er erzeugt mir also genau das x, bei dem F^-1(x) = u ist, und F(x) ist die Verteilungsfunktion einer Poisson-verteilten Größe.

Dass der Mittelwert dieser Poisson-Verteilung mü ist, sieht man schon an der Formel, weil der Parameter einer Poisson-Verteilung auch gleichzeitig der Mittelwert ist. Wer's nachrechnen möchte, kann das gerne tun...


zu Bsp. b:
========

Y als Anzahl der Aufrufe von Zeile 3. ist ja X+1, weil die Zeile bei i=0 zum ersten Mal aufgerufen wird, und bei i=X (also wenn es fertig ist) zum letzten Mal. Den Mittelwert dieser Y berechne ich ganz einfach mit dem Satz vom unbewussten Statistiker:

EY = Sum (i=0 bis unendl) (i+1) * mü^i * e^-mü / i! = ...

ich teil das in zwei Summen auf indem ich das (i+1) auflös...

... = Sum (i=0 bis unendl) 1 * mü^i * e^-mü / i! +
+ Sum (i=0 bis unendl) i * mü^i * e^-mü / i! = ...

wenn man sich bei der ersten Summe das e^-mü rausdenkt (ist ja ein konstanter Faktor) ist das genau die Taylorreihe von e^mü, mit e^-mü wieder multipliziert, gibt es 1.

bei der zweiten Summe trickse ich ein bisschen: nachdem bei i=0 ja der Summand sowieso 0 ist, lasse ich i nur von 1 weg gehen. nun kann ich das i, das multipliziert wird mit dem i! im Nenner kürzen, und hab dann im Nenner nur mehr (i-1)! stehen. dann heb ich noch e^-mü raus und ein mü, sodass mü^(i-1) dort steht. ich hab dann für die erste Summe:

e^-mü * mü * Sum(i=1 bis unendl) mü^(i-1) / (i-1)!

diese Summe ist wieder die Taylorreiche von e^mü, wir haben zwar i-1 statt i stehen, aber das geht auch nur von 1 weg, also ist es wieder das gleiche. Ich bekome dann:

EY = 1 + mü
=========

[_ElGato_]

das klingt alles sehr glaubwürdig!

allerdings ist die argumentation über die taylorreihe recht knapp, und ich kann sie nicht nachvollziehen!

an welchem punkt wird die taylorreihe von e^-µ entwickelt? 0 (damit das e^-µ zu 1 wird und somit aus dem ausdruck verschwindet)?
aber von wo kommt dann das µ bzw. wie kommt es wieder weg?

:confused:

[Irfy]

naja, so guts halt geht, ich muss nämlich auch noch in eine F = Sum (k=0 bis i) mü^i * e^-mü / i!
wenn man sich dieses F genau anschaut, ist das die Verteilungsfunktion einer Poisson-verteilten Größe, so wie's dasteht halt F(i)
Ich stimme ganz zu - vielleicht hilft es irgendwem zu sagen, dass F oben die VF (F(x)=W{X<=x}) ist wobei die Dichte nur das letzte element von der Summe ist, also f(k)=W{X=x}=mue^x*e^-mue/x!
zu Bsp. b:
[... Y=X+1 ...]
EY = 1 + müDazu kann ich nur sagen dass die berechnung der erwartungswert ist linear, also E(aX+b)=aEX+b => mit keine berechnung dass EY=E(X+1)=EX+1=mue+1 :cool: .