4.3

[sportDoris]

zu Bsp. b:
=======

ich hab hier eine andere Erklärung dafür, dass der Wechsel zwischen <= und >= wirklich stimmt, man kann das nämlich nicht nur durch eine Probe zeigen, sondern einfach bei der Ungleichungs-Umformung etwas aufpassen:


1-(1-q)^n >= p ..... | -p, + (1-q)^n
1-p >= (1-q)^n ..... | ln bilden

der ln ist für positive Argumente eine streng monoton steigende Funkion,
also dreht er das Ungleichungszeichen _nicht_ um, weil die beiden
Argumente sicher zwischen 0 und 1 liegen.

ln(1-p) >= n * ln(1-q) | /ln(1-q)

Achtung: 1-q ist (weil es eine Wahrscheinlichkeit ist) sicher zwischen 0 und
1, dort ist aber der ln negativ. wenn man durch etwas negatives dividiert,
dreht sich das Ungleichungszeichen um.

ln(1-p)
------ <= n
ln(1-q)

[sportDoris]

zu Bsp. c:
=======

hier wäre mir ein Fehler in der Argumentation untergekommen:

den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit darf man ja anwenden, wenn man eine Unterteilung von M in disjunkte H1 bis Hn hat, die vereinigt wieder M ergeben. Bei der Lösung von Georg Kraml in Version 1.0 ist aber H das Ereignis X>m, man müsste also noch ein zweites H hernehmen, bei dem X<=m, damit man den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit anwenden darf.

hier ist mein Lösungsvorschlag zu dem Bsp:


W(X>n+m | X>m) = W( X>n+m und X>m) / W(X>m) = ...

das ist die Formel W(A|B) = W(A und B) / W(B) angewendet.

nun kann man ja statt (X>n+m und X>m) nur X>n+m schreiben. Für die
Wahrscheinlichkeiten verwendet man dann einfach die Formel
W(X>a) = (1-q)^a

... = (1-q)^(n+m) / (1-q)^m = (1-q)^n = W(X>n) q.e.d.

[ibins]

nun kann man ja statt (X>n+m und X>m) nur X>n+m schreiben

Warum?

(The message you have entered is too short. Please lengthen your message to at least 10 characters)

[sportDoris]

Warum?

(The message you have entered is too short. Please lengthen your message to at least 10 characters);-)

naja, x muss beide Bedingungen, nämlich >n+m und >m erfüllen. da es sich um eine Anzahl von Versuchen hält, ist das alles sicher positiv, deshalb gilt n+m>m. und wenn jetzt x>n+m ist, ist es sicher auch >m, also ist >m+n die schärfere Bedingung, die unschärfere kann man dann weglassen.

[buechsengustel]

<offtopic>
*g* schärfer und unschärfer ... auch nicht schlecht.
</offtopic>

[Sebi]

ich verstehe schlicht und ergreifend die Angabe bei a) nicht...

kann nachvollziehen was und warum in der Ausarbeitung geschieht, aber ich verstehe einfach die Aufgabe nicht (expliziten ausdruck für X), und ich finde (vermutlich deswegen ;) ) auch keinen zusammenhang zu dem was da geschieht ;)

wäre super wenn mir da jemand helfen könnte

[Georg Kraml]

hier wäre mir ein Fehler in der Argumentation untergekommen:

den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit darf man ja anwenden, wenn man eine Unterteilung von M in disjunkte H1 bis Hn hat, die vereinigt wieder M ergeben. Bei der Lösung von Georg Kraml in Version 1.0 ist aber H das Ereignis X>m, man müsste also noch ein zweites H hernehmen, bei dem X<=m, damit man den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit anwenden darf.

Ist argumentierbar, ja.

hier ist mein Lösungsvorschlag zu dem Bsp:

Besten Dank. Ich hab deinen Ansatz gestohlen und eingebaut.

.

[sportDoris]

ich verstehe schlicht und ergreifend die Angabe bei a) nicht...

kann nachvollziehen was und warum in der Ausarbeitung geschieht, aber ich verstehe einfach die Aufgabe nicht (expliziten ausdruck für X), und ich finde (vermutlich deswegen ;) ) auch keinen zusammenhang zu dem was da geschieht ;)

wäre super wenn mir da jemand helfen könnte
ok, zur geometrischen Verteilung steht auch was in den Folien. Es geht einfach darum, dass eine Größe X angibt, wie oft man einen Alternativversuch mit der Wahrscheinlichkeit q ausführen muss, bis man ein positives Ergebnis bekommt. wenn man genau beim n-ten Versuch ein positives Ergebnis hat, so waren die n-1 Versuche davor negativ, die Wahrsch ist also W(X=n)=(1-q)^(n-1)*q.

Jetzt geht es um die Verteilungsfunktion: F(k) ist ja W(X<=k). dieses F(k) wird über die Gegenwahrsch. W(X>k) ausgerechnet, weil die leichter zu argumentieren geht: X>k heißt ja, dass beim k-ten Versuch noch immer kein positives Ergebnis da ist, d.h. dass die ersten k Versuche negativ sind und frühestens beim (k+1)-ten Versuch tritt ein Erfolg ein, kann aber noch viel später sein. die Wahrsch, dass die ersten k negativ sind, ist halt (1-q)^n. der Rest steht dann eh weiter in der Ausarbeitung...

[Sebi]

ok, zur geometrischen Verteilung steht auch was in den Folien. Es geht einfach darum, dass eine Größe X angibt, wie oft man einen Alternativversuch mit der Wahrscheinlichkeit q ausführen muss, bis man ein positives Ergebnis bekommt. wenn man genau beim n-ten Versuch ein positives Ergebnis hat, so waren die n-1 Versuche davor negativ, die Wahrsch ist also W(X=n)=(1-q)^(n-1)*q.

Jetzt geht es um die Verteilungsfunktion: F(k) ist ja W(X<=k). dieses F(k) wird über die Gegenwahrsch. W(X>k) ausgerechnet, weil die leichter zu argumentieren geht: X>k heißt ja, dass beim k-ten Versuch noch immer kein positives Ergebnis da ist, d.h. dass die ersten k Versuche negativ sind und frühestens beim (k+1)-ten Versuch tritt ein Erfolg ein, kann aber noch viel später sein. die Wahrsch, dass die ersten k negativ sind, ist halt (1-q)^n. der Rest steht dann eh weiter in der Ausarbeitung...

vielen dank, jetzt weiß ich was die eigentlich wollen.... na schaut das beispiel schon besser aus ;)

[Kakarot]

Also eine Frage zu b:(tut mir leid wenns trivial ist)


aber
1. Wieso ist bei n=aufgerundet[ln(1-p)/ln(1-q)] und nicht
aufgerundet[ln(1-q)/ln(1-p)]
ich check das nicht ganz

2. Wie kommt man von 1-(1-q)^[ln(1-p)/ln(1-q)] auf = 1-(1-p)

Danke für ne erklärung, auch wenns schon eine gibt.

[Georg Kraml]

(tut mir leid wenns trivial ist)

Kein Stress.

1. Wieso ist bei n=aufgerundet[ln(1-p)/ln(1-q)] und nicht
aufgerundet[ln(1-q)/ln(1-p)]
ich check das nicht ganz

Das kommt so:

Für alle Werte a,b,c>1 gilt die Gleichung log_b a = log_c a / log_c b.
Damit gilt insbesondere auch für alle Werte von a,b>0 die Gleichung log_b a = ln a / ln b. Probier's aus: log_{10} 100 = ln 100 / ln 10 = 4,605... / 2,303... = 2.
Umgekehrt, also mit ln b / ln a, funktioniert's nicht: ln 10 / ln 100 = 0,5.
Wir interessieren uns für den Wert von log_{1-q} (1-p) und damit eben indirekt für ln (1-p) / ln (1-q). Aufrunden müssen wir das ganze deshalb, weil wir es einerseits mit einer diskreten Verteilung zu tun haben und unser n deshalb nur ganzzahlige Werte annehmen kann, und weil wir andererseits ein n brauchen, dass mindestens und nicht höchstens den Wert des fraglichen Logarithmus hat.


2. Wie kommt man von 1-(1-q)^[ln(1-p)/ln(1-q)] auf = 1-(1-p)

Das ist ganz einfach die "Probe" zur Umformung von oben:

ln(1-p)/ln(1-q) ist ja nur unser taschenrechnerfreundliche Art, log_{1-q} (1-p) anzuschreiben. Damit gilt klarerweise 1-(1-q)^[ln(1-p)/ln(1-q)] = 1-(1-q)^[log_{1-q} (1-p)].
Sieht beides ein bisschen unübersichtlich aus, aber: Sei c = log_b a. Dann ist per logarithmi definitionem b^c = a. Setzen wir in die zweite Gleichung den Ausdruck für c aus der ersten Gleichung ein, erhalten wir b^(log_b a) = a.
Natürlich ändert sich an der Gültigkeit dieser Gleichung nichts, wenn wir auf beiden Seiten ein "1-" davorstellen: 1-n^(log_b a) = 1-a.
Ersetzen wir jetzt weiter b durch 1-q und a durch 1-p, dann steht auf der linken Seite der Gleichung plötzlich der konfus wirkende Ausdruck von oben, 1-(1-q)^[log_{1-q} (1-p)], und auf der rechten Seite der Gleichung 1-(1-p). Voila, 1-(1-q)^[log_{1-q} (1-p)] = 1-(1-p).


Danke für ne erklärung

Bitteschön!

.

[sportDoris]

Also eine Frage zu b:(tut mir leid wenns trivial ist)


aber
1. Wieso ist bei n=aufgerundet[ln(1-p)/ln(1-q)] und nicht
aufgerundet[ln(1-q)/ln(1-p)]
ich check das nicht ganz

2. Wie kommt man von 1-(1-q)^[ln(1-p)/ln(1-q)] auf = 1-(1-p)

Danke für ne erklärung, auch wenns schon eine gibt.also bei 1. würd ich dir mal den Tip geben, genau zu schauen, ob p und q bei deiner Lösung genau dasselbe bedeuten wie bei der allgemein bekannten vom Georg.

und bei 2. geb ich dir einen Tip in Form einer Formel:
x^(ln a) = x*a
ok, so ganz sicher bin ich mir bei der Formel doch nicht mehr, werd aber jetzt in der VO drüber nachdenken...

[sportDoris]

jetzt hab ichs: ln(1-p)/ln(1-q) ist ja nichts anderes als der Logarithmus von 1-p zur Basis 1-q (ist eh schon vorher vorgekommen). also anders interpretiert ist das genau die Zahl, mit der man 1-q hoch-nehmen muss, damit 1-p rauskommt, und deshalb kommt dann genau 1-p raus...