View Full Version : [Frage] 2.4
Ist das Beispiel zu schwer oder zu leicht? (Warum schweigen alle?)
zu a): Ich würd mal sagen, dass die (a-posteriori) Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln weiß sind, wenn schon k gezogene Kugeln weiß sind gleich (0.5)^(n-k) ist.
Und was meint ihr zu b)?
Ist das Beispiel zu schwer oder zu leicht? (Warum schweigen alle?)
zu a): Ich würd mal sagen, dass die (a-posteriori) Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln weiß sind, wenn schon k gezogene Kugeln weiß sind gleich (0.5)^(n-k) ist.
Und was meint ihr zu b)?
nein.. (0.5)^(n-k) hatte ich auch zuerst. aber das ist sicher nicht richtig, da wenn du dann n gezogen haettest wuerdest du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 wissen, dass der Behaelter weiss ist. Du legst aber die Kugel zurueck und koenntest daher mehr als einmal eine weisse ziehen.
Was aber sicher stimmt ist das folgende. Da das ziehen untereinander unabhaengig ist, weil du die Kugel zuruecklegst gilt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit um k weisse zu ziehen W(w)^k ist.
Gruesse,
Wolti
Das Wort "zurücklegen" hab ich einfach übersehen, hast recht. (0.5)^(n-k) kann nicht sein...
Mir fällt nichts nutzbares ein im Moment, wie man das löst.
Wenn man die erste Kugel zieht, ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass diese weiß ist 0.5 oder? Aber nachdem man die wieder zurücklegt, und nochmals eine Kugel zieht, ist die Wahrscheinlichkeit sicher größer als 0.5, dass man wieder eine weiße zieht. Aber um wieviel größer, und wie geht das dann weiter?
Dandroid
19-10-2003, 16:21
Wenn man die erste Kugel zieht, ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass diese weiß ist 0.5 oder?
Dann wären genau gleich viele schwarze wie weisse Kugeln drin.
Und das weiss man eben nicht genau...
the_unclean
19-10-2003, 16:41
mhmm, so genau weiß ichs auch nicht, aber es steht in der angabe daß jede mögliche zusammensetzung gleichwahrscheinlich ist,daher glaub ich kannst du einfach davon ausgehen daß 50% schwarze und 50% weiße drinnen sind, das is dann so wie bei dem Gruppenbeispiel von letzte woche wo im vorhinein annehmen kannst daß ein gutes team in einer gruppe ist, weil die wahrscheinlichkeit gleichgroß war
greets
maz
Seh ich auch so. Es ist ja subjektiv. Gerade deswegen weil man eben nix weiß, müssen wir (beim ersten Ziehen) annehmen, dass eine weiße Kugel die Wahrscheinlichkeit 0.5 hat.
die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zusammensetzung nur weiße Kugeln enthält ist ja 1/(n+1)....es können ja 0,1,2.....n weiße Kugeln enthalten sein
die Wahrscheinlichkeit, dass man nur weiße Kugeln zieht ist W(w)^k
ja, und jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer zufälligen Zusammensetzung nach k mal ziehen (mit zurücklegen) immer nur weiße Kugeln gezogen hat ist:
n
----- k
1 \ / i \
--- * | |---|
n+1 / \ n /
-----
i = 1
(1/n+1) * Summe(i=1 bis n; (i/n)^k)
aber wie mir das jetzt weiterhelfen soll.......keine Ahnung - vielleicht kann ja von euch jemand damit was anfangen ??
die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zusammensetzung nur weiße Kugeln enthält ist ja 1/(n+1)....es können ja 0,1,2.....n weiße Kugeln enthalten sein
Hier muss ich aufgrund der Angabe widersprechen - jede Kombination ist gleich wahrscheinlich, daher ist W(alle weiss) = 1/2^n.
Ohne zurücklegen wär das ganze ja auch trivial, (a) wär dann 1/2^(n-k).
Hmm, nach genauerem Überlegen lieg ich falsch -> nehme daher alles zurück und behaupte das Gegenteil...
also das ist doch eine bedingte Wahrscheinlichkeit, oder?
Was wir suchen ist doch
W(A|B), wobei A eben ist, dass lauter weiße Kugeln in dem Topf liegen, und B ist, dass wir k weiße Kugeln gezogen haben.
Wir wissen jetzt ja mehr als vorher (z.B:es sind sicher nicht lauter schwarzer drinnen) => bedingte Wahrscheinlichkeit.
nur wie jetzt weiter? :rolleyes:
@mas:
ich verstehe deine Formel mit der Summe nicht ganz... eigentlich gar nicht ;)
könntest die bitte ein bisschen genauer erklären?
@Sebi
wir haben einen Behälter bei dem wir die Zusammensetzung (Anzahl von schwarzen und weißen Kugeln) nicht genau kennen, wir wissen aber, dass alle möglichen Zusammensetzungen gleich wahrscheinlich sind
zb: Behälter mit 3 Kugeln => es gibt 4 verschiedene Zusammensetzungen:
entweder ist keine weiße Kugel dabei, eine, zwei oder sogar alle drei sind weiß
wir betrachten eine Zusammensetzung von 4 möglichen => Wahrscheinlichkeit ist 0,25 eine bestimmte Zusammensetzung zu erwischen
- wenn ich jetzt die Zusammensetzung WWW (weiß-weiß-weiß) hernehme, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei k-Ziehungen (mit zurücklegen) immer weiße Kugeln erwische: 1^k = 1
- bei WWS (also eine schwarze Kugel) => (2/3)^k
- bei WSS => (1/3)^k
- und bei lauter schwarzen Kugeln => 0^k = 0
und da ja alle diese verschiedenen Zusammensetzungen gleich wahrscheinlich sind (0,25...oder halt 1/(n+1)):
0,25*1^k + 0,25*(2/3)^k + 0,25*(1/3)^k + 0,25*0^k
0,25*(1^k + (2/3)^k + (1/3)^k + 0^k)
und für ein beliebiges n:
(1/n+1)*[(n/n)^k + ((n-1)/n)^k + .......+ ((n-n+1)/n)^k + ((n-n)/n)^k)]
und da der letzte Ausdruck ((n-n)/n)^k) - immer 0 ist kann man den ja weglassen, und hat jetzt n Ausdrücke die aufsummiert werden
n
----- k
1 \ / i \
--- * | |---|
n+1 / \ n /
-----
i = 1
ich hoffe mal mein Gedankengang ist nicht vollkommen falsch.....
@Sebi
also die Formel aus meinem vorigen Posting entspricht in deinem Beispiel dem W(B), wie wahrscheinlich es ist, bei k-Ziehungen immer nur weiße Kugeln zu ziehen.....
ob wir das W(B) jetzt eigentlich irgendwie brauchen......mhm, da bin ich mir selber aber noch gar nicht so sicher
hmmm, also ich hab da mal einen anderen ansatz.
ein behälter mit n kugeln kann n+1 verschiedene arten der zusammensetzung haben.
da alle zusammensetzungen gleich wahrscheinlich sind, ist die wahrscheinlichkeit, dass der behälter eine konkrete zusammensetzung hat 1/(n+1).
H_i ist die zusammensetzung mit i weißen und n-i schwarzen kugeln.
W(H_i) = 1/(n+1) für alle i (0<=i<=n)
kWK ist das ereignis für k gezogene weiße kugeln mit zurücklegen
die wahrscheinlichkeit, dass man k weiße kugeln in einer bestimmten
zusammensetzung H_i zieht, ist
W(kWK|H_i) = (i/n)^k
mit diesen termen kann man die bayes'sche formel anwerfen:
W(H_n|kWK) = W(kWK|H_n)*W(H_n) / Sum[j=0, n, W(kWK|H_j)*W(H_j)]
W(kWK|H_n) ist 1 (wahrsch. bei n weißen kugeln k weiße zu ziehen)
W(H_n|kWK) = 1*1/(n+1) / Sum[j=0, n, (j/n)^k * 1/(n+1)]
1/(n+1) kürzt sich weg
W(H_n|kWK) = 1 / Sum[j=0, n, (j/n)^k]
und das ganze ein bisschen schöner geschrieben:
W(H_n|kWK) = n^k / Sum[j=1, n, j^k]
rein gefühlsmäßig schaut das nicht so schlecht aus, oder?
lg
garwik
rein gefühlsmäßig schaut das nicht so schlecht aus, oder?
lg
garwik
das sieht sogar sehr gut aus !
PS:cool, dass du um 6 uhr in der früh aufstehst, um den fehler den du beim vereinfachen gemacht hast, auszubessern, aber glaub nicht, dass wir den fehler nicht gesehen hätten :D :p
lg JayJay
Unic0der
20-10-2003, 15:41
@garwick: Du hast ja da jetzt mal die a-posteriori Wahrscheinlichkeit für die weißen Kugeln berechnet.
Hast du (oder irgendjemand anderer hier) schon Fortschritte bei der Berechnung der a-posteriori Wahrscheinlichkeiten für alle anderen Zusammen setzungen des Behälters gemacht?
PS:cool, dass du um 6 uhr in der früh aufstehst, um den fehler den du beim vereinfachen gemacht hast, auszubessern, aber glaub nicht, dass wir den fehler nicht gesehen hätten :D :p
mist, erwischt ;-)
zu (b), da würde ich, äquivalent zu (a), folgendes sagen:
W(H_i|kWK) = W(kWK|H_i)*W(H_i) / Sum[j=0, n, W(kWK|H_j)*W(H_j)
W(H_i|kWK) = (i/n)^k * 1/(n+1) / Sum[j=0, n, (i/n)^k * 1/(n+1)
wieder kürzt sich 1/(n+1) weg:
W(H_i|kWK) = (i/n)^k / Sum[j=0, n, (i/n)^k
und wenn man das wieder vereinfacht (hoffentlich jetzt ohne fehler ;):
W(H_i|kWK) = i^k / Sum[j=1, n, j^k] für alle H_i anordnungen
irgendwer anderer meinung?
lg
garwik
Hast du (oder irgendjemand anderer hier) schon Fortschritte bei der Berechnung der a-posteriori Wahrscheinlichkeiten für alle anderen Zusammen setzungen des Behälters gemacht?
Wenn W(A) die a-posteriori Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der Behälter nur weisse enthält, müsste dann nicht die Wahrscheinlichkeit für eine andere Zusammensetzung nicht 1-W(A) sein?
Unic0der
20-10-2003, 18:20
Wenn W(A) die a-posteriori Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der Behälter nur weisse enthält, müsste dann nicht die Wahrscheinlichkeit für eine andere Zusammensetzung nicht 1-W(A) sein?
Wenn es nur mehr eine weitere Zusammensetzung geben würde, würde das stimmen. Dummerweise gibt es aber die Fälle:
- alle weiß
- alle schwarz
- Mix aus schwarz und weiß
tja, und dann geht's natürlich nimmer mit 1-W(A) ;) .
Hallo Leute,
rein intuitiv bin ich heute auch auf das ergebnis von garwick gekommen.
Aber bei
n^k/sum(j=1..n, j^k) kan man noch n^k kürzen
also
1/sum(j=1..n-1, j^k)
nun habe ich aber das Problem dass das weitaus kleiner wird als die a-priori-Wahrscheinlichkeit 1/n+1. Das ist unlogisch. Ich ziehe lauter weiße Kugeln und die Wahrscheinlichkeit, dass viele weiße drin sind soll durch dieses Wissen kleiner werden?
Viel Spaß noch
Christoph
Wenn es nur mehr eine weitere Zusammensetzung geben würde, würde das stimmen. Dummerweise gibt es aber die Fälle:
- alle weiß
- alle schwarz
- Mix aus schwarz und weiß
tja, und dann geht's natürlich nimmer mit 1-W(A) ;) .
Wieso nicht?
Die Wahrscheinlichkeit dass alle weiss sind ist doch W(A), dann ist doch 1-W(A) die Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle weiss sind -> Es muss irgendeine andere Zusammensetzung sein!
Ich glaube das liegt daran, dass man das n^k nicht kürzen kann...ist ja ne Summenformel...
n^k / (n^k + Summe(j=1..n-1, j^k))
und das wäre 1 / 1 + (Summe(j=1..n-1, j^k)/n^k)
mfg, Alex
thx @mas für die arbeit.... hat mir sehr geholfen.
@bug: naja, wiel ich fürchte die wollen nicht wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit für irgendeine andere Zusammensetzung ist, sondern für jede andere das einzeln haben wolln...
lg
sebi
PS& edit:
noch eine frage zu dem Vereinfachen des Ausdrucks...
warum ändert sich der Raum der Summe (von 0 bis n auf 1 bis n), wenn man das 1/n^k heraushebt.
Ich meine es ist egal, weil mit 0^k erhalte ich ja sowieso 0, was mir an meiner summe nix ändert, aber es würde mich interessieren ... ;)
sportDoris
21-10-2003, 00:07
@ garwick: jep, die Lösung passt.
@ boni: WeirdAI hat Recht, hier darf natürlich nicht gekürzt werden
@Sebi: das ändert sich nicht erst beim Kürzen, sondern liegt daran, dass WeirdAI dass 0te Element schon vorher weggelassen hat...
thx @mas für die arbeit.... hat mir sehr geholfen.
@bug: naja, wiel ich fürchte die wollen nicht wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit für irgendeine andere Zusammensetzung ist, sondern für jede andere das einzeln haben wolln...
lg
sebi
PS& edit:
noch eine frage zu dem Vereinfachen des Ausdrucks...
warum ändert sich der Raum der Summe (von 0 bis n auf 1 bis n), wenn man das 1/n^k heraushebt.
Ich meine es ist egal, weil mit 0^k erhalte ich ja sowieso 0, was mir an meiner summe nix ändert, aber es würde mich interessieren ... ;)1/n^k kann man zwar herausheben was sicha auch sinn macht aber wie du dann durch was kürzen willst check ich nicht ganz. also ich denke die lösungen von garwik stimmen und die kann man glaub ich auch nicht mehr vereinfachen.
das letzte element der summe ist j^n und nicht n^k, und allein wenn es das wäre kann man eine summe nicht einfach so kürzen.
lg JayJay
edit: das mit dem kürzen ist an boni und nicht an sebi gerichtet :D
[QUOTE=MacOS X]- alle weiß
- alle schwarz
- Mix aus schwarz und weiß
[QUOTE]
naja über "alle schwarz" kann man jedenfalls eine Aussage treffen, dafür ist die a-posteriori Wahrscheinlichkeit 0, es is ja mindestens eine weiße drin, die man dann jedesmal gezogen haben müsste.
naja und da ja die WahrscheinlichkeitEN für die übrigen Ereignisse gefragt sind.. müss ma wohl doch noch in den sauren Rechenapfel beißen *gg*
mfg Shine
@ boni: WeirdAI hat Recht, hier darf natürlich nicht gekürzt werden
Selbstvertändlich hat er recht. "Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen" pflegte mein Mathelehrer gerne zu sagen.
Ohne diese wirklich dumme Kürzerei durch meine Wenigkeit wirkt das Ergebnis weitaus plausibler...
Sorry, me confused ;)
Christoph
W(H_i|kWK) = (i/n)^k * 1/(n+1) / Sum[j=0, n, (i/n)^k * 1/(n+1)
wieder kürzt sich 1/(n+1) weg:
W(H_i|kWK) = (i/n)^k / Sum[j=0, n, (i/n)^k
Also ersteinmal ein großes Lob für deine Lösung!!
zu Bsp. b)
Was mich noch irritiert:
müßte nicht in der summe statt (i/n)^k der Term (j/n)^k stehen??
oder hab ich da was nicht gecheckt
greez
@Snot,
nein, so wie ich das verstehe steht der Ausdruck ja für die Wahrscheinlichkeit der anderen Zusammensetzungen - sprich wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass i weisse Kugeln vorkommen,
nämlich ( "i" /n)^k / Summe[j=0,n (j/n)^k]
Kann mich aber auch irren...
Ausserdem kann man da nochmal kürzen...
nämlich das 1/n^k, wenn mich nicht alles täuscht...
= (i^k / n^k) / Summe[j=1, n, (j^k/n^k)] =
= (i^k / n^k) / (1/n^k) * Summe[j=1, n, (j^k)]
= i^k / Summe[j=1, n, (j^k)]
stimmts?
Alex
@WeirdAI
also wenn man stur einsetzt in die Bayes'sche Formel müßte man meiner Meinung nach (j/n)^k sonst würde das ja bedeuten daß jedes element der summe gleich wäre (is das gewollt??¿¿) ... außerdem komm ich im endeffekt aufs selbe ergebnis.. ich laß das jetzt einfach so und hoff es paßt *hehe* ... kann nimma denken :zzz:
übrigens das kürzen hast du richtig gemacht meiner meinung nach
greez
vielleicht kann ich noch etwas zur verwirrung beitragen ...
n Kugeln schwarz oder weiß ergibt n+1 verschiedene Zusammensetzungen (0..n Kugeln weiß und die anderen schwarz)
laut Angabe sind alle Zusammensetzungen (zi mit i = Anzahl weiße Kugeln) gleich wahrscheinlich
W(zi) = 1 / (n+1) für alle zi
die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen ist bedingt durch die Zusammensetzung zi, weil in zi genau i weiße Kugeln enthalten sind
W(w|zi) = i / n
die unbedingte Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen W(w) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle Zusammensetzungen zi mit i = 0(1)n
W(w) = sum(W(zi)W(w|zi)) =
= W(zi)sum(W(w|zi)) =
= (1/(n+1))sum(i/n) =
= (1/(n(n+1)))sum(i) =
= (1/(n(n+1)))(n(n+1)/2) = 1/2
(sum(i) mit i=0(1)n ===> sum(i) = n(n+1)/2
durch das Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen immer gleich und daher ist die Wahrscheinlichkeit k weiße Kugeln hintereinander zu ziehen
W(kw) = W(w)^k = 1/2^k
die a-posteriori Wahrscheinlichkeit W(zn|kw), dass alle Kugeln weiß sind wenn k weiße Kugeln hintereinander gezogen wurden ist (zn = Zusammensetzung mit n weißen Kugeln = alle Kugeln sind weiß)
W(zn|kw) = W(zn)W(kw/zn)/W(kw) =
= (1/(n+1)) 1 / (1/2^k) = (2^k) / (n+1)
(die Wahrscheinlichkeit k weiße Kugeln zu ziehen, wenn alle Kugeln weiß sind ist W(kw|zn) = 1)
für die anderen Zusammensetzungen ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen W(kn|zi) = (i/n)^k
W(zi|kw) = W(zi)W(kw/zi)/W(kw) =
= (1/(n+1)) ((i/n)^k) / (1/2^k) = ((2i/n)^k) / (n+1)
sportDoris
21-10-2003, 09:59
Also ersteinmal ein großes Lob für deine Lösung!!
zu Bsp. b)
Was mich noch irritiert:
müßte nicht in der summe statt (i/n)^k der Term (j/n)^k stehen??
oder hab ich da was nicht gecheckt
greez
hier hast ja einige Verwirrung gestiftet ;-)
das Problem ist, dass manche geglaubt haben, du willst im Zähler von dem einen Bruch i/n durch j/n ersetzen, dabei meinst du den Nenner, wo sowas gestanden ist wie sum (j=1 bis n) (i/n)^k, wo natürlich statt i ein j hingehört, sonst macht es ja keinen Sinn...
sportDoris
21-10-2003, 10:22
vielleicht kann ich noch etwas zur verwirrung beitragen ...
n Kugeln schwarz oder weiß ergibt n+1 verschiedene Zusammensetzungen (0..n Kugeln weiß und die anderen schwarz)
laut Angabe sind alle Zusammensetzungen (zi mit i = Anzahl weiße Kugeln) gleich wahrscheinlich
W(zi) = 1 / (n+1) für alle zi
die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen ist bedingt durch die Zusammensetzung zi, weil in zi genau i weiße Kugeln enthalten sind
W(w|zi) = i / n
die unbedingte Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen W(w) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle Zusammensetzungen zi mit i = 0(1)n
W(w) = sum(W(zi)W(w|zi)) =
= W(zi)sum(W(w|zi)) =
= (1/(n+1))sum(i/n) =
= (1/(n(n+1)))sum(i) =
= (1/(n(n+1)))(n(n+1)/2) = 1/2
(sum(i) mit i=0(1)n ===> sum(i) = n(n+1)/2
durch das Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen immer gleich und daher ist die Wahrscheinlichkeit k weiße Kugeln hintereinander zu ziehen
W(kw) = W(w)^k = 1/2^k
die a-posteriori Wahrscheinlichkeit W(zn|kw), dass alle Kugeln weiß sind wenn k weiße Kugeln hintereinander gezogen wurden ist (zn = Zusammensetzung mit n weißen Kugeln = alle Kugeln sind weiß)
W(zn|kw) = W(zn)W(kw/zn)/W(kw) =
= (1/(n+1)) 1 / (1/2^k) = (2^k) / (n+1)
(die Wahrscheinlichkeit k weiße Kugeln zu ziehen, wenn alle Kugeln weiß sind ist W(kw|zn) = 1)
für die anderen Zusammensetzungen ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen W(kn|zi) = (i/n)^k
W(zi|kw) = W(zi)W(kw/zi)/W(kw) =
= (1/(n+1)) ((i/n)^k) / (1/2^k) = ((2i/n)^k) / (n+1)
also bei dieser Lösung hab ich jetzt ziemlich lange herumüberlegt, sie klingt eigentlich ziemlich plausibel...
was aber daran nicht stimmen kann: du bekommst als eine Lösung 2^k/(n+1) das ist aber, wenn das k entsprechend groß ist, größer als 1 und kann somit keine Wahrscheinlichkeit sein.
wo genau der Fehler liegt kann ich nicht mit Sicherheit sagen, ich glaub aber, dass du nicht einfach zuerst die W(w), also die Wahrscheinlichkeit von einem weißen, ausrechnen kannst, über die Bayes'sche Formel und dann die W(A) einfach über diese Wahrscheinlichkeit ausrechnen, wenn man nämlich W(A) direkt über die Bayes'sche Formel ausrechnet, bekommt man ja
1/(n+1)*sum(i=1...n)((i/n)^k) und das ist eindeutig nicht gleich mit (1/2)^k
@sportDoris
sorry war ja nicht böse gemeint :)
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