View Full Version : [Frage] 2.6
sportDoris
17-10-2003, 00:14
bei dieser Lösung bin ich mir nicht sicher, also bitte möglichst kritisch durchlesen! ;-)
mein Merkmalraum: M = { (b1, b2, b3, b4, b5) | bi enthalten in {0,1} }
bi=0 wenn Ci nicht intakt ist
bi=1 wenn Ci intakt ist.
das Ereignis Ei (Ci ist intakt, alle anderen sind somit wurscht) lautet dann:
Ei = { (b1, b2, b3, b4, b5) | bi=1 }
das Ereignis E (es gibt einen intakten Weg durch) ist somit:
E = (E1 n E4) u (E2 n E4) u (E2 n E5) u (E3 n E5)
wie ich das anders als durch argumentieren beweisen soll, weiß ich nicht...
wenn ich nun die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Additionstheorems ausrechne (durchbeißen, es sind 15 Summanden !) und vereinfache, komm ich auf
W(E) = 4*p^2 - 3*p^3 - p^4 + p^5
============================
W(E) = 4*p^2 - 3*p^3 - p^4 + p^5
============================
Kann dir voll und ganz zustimmen.
sportDoris
17-10-2003, 10:50
das ist gut zu wissen :thumb:
ja, die argumentation klingt logisch!
aber wie hast du das mit dem additionstheorem eingesetzt und ausgerechnet, kannst du mir da vielleicht die erste zeile hinschreiben !
steh grad ein bissi auf der leitung was ich für das W(A) + W(B) - W(A n B) einsetzen soll und wie ich zb A n B ausrechne ?
sportDoris
18-10-2003, 15:12
das Additionstheorem erklärt gibt es beim Beispiel 2.1 (http://hades.gothic.at/iforum/showthread.php?t=11566)
schau mal dort und wenn es dann immer noch unklar ist, kannst ja nochmal fragen
Matthias
18-10-2003, 17:43
das Additionstheorem erklärt gibt es beim Beispiel 2.1 (http://hades.gothic.at/iforum/showthread.php?t=11566)
schau mal dort und wenn es dann immer noch unklar ist, kannst ja nochmal fragen
Mir ist das mit dem Additionstheorem noch nicht ganz klar, ich komme schon mal nicht auf 15 Summanden sondern auf 19:
(1,4), (2,4), (2,5), (3,5) = 4
(1,2,4), (1,4,5), (1,3,4), (2,4,5), (2,3,4), (1,2,5), (2,4,5), (2,3,5), (1,3,5), (3,4,5) = 9
(1,2,3,4), (1,2,4,5), (1,3,4,5), (2,3,4,5), (1,2,3,5) = 5
(1,2,3,4,5) = 1
und ich wüßte auch nicht, wie man das dann vereinfachen kann. Ich geh mal davon aus, dass ich schon die Summanden falsch bilde. Ich hab da einfach alle Kombinationen genommen, in denen (1,4), (2,4), (2,5) oder (3,5) (also die intakten Wege) enthalten sind.
Ich bedank mich schon mal für weitere Hilfe ;)
ja, um ganz ehrlich zu sein is es mir schon noch unklar !
das bsp. 1 versteh ich schon, das is eh simpel!
aber ich hab gemeint WAS genau setzt du hier WIE ins additionstheorem ein, dass ihr auf diese 15 odwer 19 summanden kommt ? (und welche lösung stimmt jetzt eigentlich, mathias' oder doris' )
Matthias
19-10-2003, 14:21
ja, um ganz ehrlich zu sein is es mir schon noch unklar !
das bsp. 1 versteh ich schon, das is eh simpel!
aber ich hab gemeint WAS genau setzt du hier WIE ins additionstheorem ein, dass ihr auf diese 15 odwer 19 summanden kommt ? (und welche lösung stimmt jetzt eigentlich, mathias' oder doris' )ich denk nicht, dass meins stimmt, mir ist das mit dem additionstheorem auch noch nicht ganz klar.
das Ereignis E (es gibt einen intakten Weg durch) ist somit:
E = (E1 n E4) u (E2 n E4) u (E2 n E5) u (E3 n E5)
wie ich das anders als durch argumentieren beweisen soll, weiß ich nicht...
Du brauchst es ja nicht beweisen, da steht nur "zeige, dass..."
und gezeigt hast du es ja damit.
Des Ereignis E tritt entweder dann in Kraft wenn:
E1 und E4 oder E2 und E4 oder ....
wobei ja und/Durchschnitt und oder/Vereinigung gleichbedeutend sind...
Unic0der
19-10-2003, 16:15
Mir ist leider auch noch weder klar, wie ihr auf die 15 Summanden kommt, noch wie man das ganze dann in das Additionstheorem einsetzt und vereinfacht. :(
Also ich habe auf diesen Ausdruck E = (E1 n E4) u (E2 n E4) u (E2 n E5) u (E3 n E5) die Methode des Inklusions-Exklusions prinzip aus Mathe 1 angewandt, indem ich gesagt habe (E1 n E4) = A, (E2 n E4) =B, usw.
Und nachdem ich das dann ausgerechnet hatte (zum Schluss alle As,Bs,Cs und Ds wieder durch die Ursprünglichen Ausdrücke ersetzt, und dann ausmultipliziert, und bin dann auf genau dieses Ergebnis gekommen.
Habe keine Ahnung ob das richtig oder erlaubt ist, aber es kommt zumindest mal das richtige raus (wobei man halt aufpassen muss, und das ist es was mich ein bisschen stuztig macht, dass es doch falsch sein könnte: aus (E1 n E4) n (E2 n E4) würde p^3 werden, wodurch aus dem Durchschnitt der beiden eher eine Vereinigung wird...
lg
sebi
Matthias
19-10-2003, 19:46
Also ich habe auf diesen Ausdruck E = (E1 n E4) u (E2 n E4) u (E2 n E5) u (E3 n E5) die Methode des Inklusions-Exklusions prinzip aus Mathe 1 angewandt, indem ich gesagt habe (E1 n E4) = A, (E2 n E4) =B, usw.
Und nachdem ich das dann ausgerechnet hatte (zum Schluss alle As,Bs,Cs und Ds wieder durch die Ursprünglichen Ausdrücke ersetzt, und dann ausmultipliziert, und bin dann auf genau dieses Ergebnis gekommen.
so hab ichs ja auch versucht, nur bin ich da anscheinend auf andere summanden gekommen. schreib doch mal bitte genauer auf, was du da wie ausgerechnet hast und wie du durchs ausmultiplizieren zum ergebnis gekommen bist.
danke!
A=(E1nE4), B=(E2nE4), C=(E2nE5), D=(E3nE5)
W(E)=W(A+B+C+D-((AnB)+(AnC)+(AnD)+(BnC)+(BnD)+(CnD))+(AnBnC)+(AnB nD)+(AnCnD)+(BnCnD)-(AnBnCnD))=
=p^2+p^2+p^2+p^2-(p^3+p^4+p^4+p^3+p^4+p^3)+(p^4+p^5+p^4+p^5)-p^5=
=.....
hoffe das reicht so...
A,B,C und D sind prinzipiell p^2, jedoch wenn du den Durchschnitt von 2 bildest, dann ist die Hochzahl immer nur die Anzahl der verschiedenen Es die darin vorkommen... leider fehlt mir dazu noch ein wirklicher beweis, weil das ja eigentlich eine Egenschaft der Vereinigung, und nicht des Durchschnnitts ist
Matthias
20-10-2003, 00:27
A=(E1nE4), B=(E2nE4), C=(E2nE5), D=(E3nE5)
W(E)=W(A+B+C+D-((AnB)+(AnC)+(AnD)+(BnC)+(BnD)+(CnD))+(AnBnC)+(AnB nD)+(AnCnD)+(BnCnD)-(AnBnCnD))=
=p^2+p^2+p^2+p^2-(p^3+p^4+p^4+p^3+p^4+p^3)+(p^4+p^5+p^4+p^5)-p^5=
=.....
hoffe das reicht so...
A,B,C und D sind prinzipiell p^2, jedoch wenn du den Durchschnitt von 2 bildest, dann ist die Hochzahl immer nur die Anzahl der verschiedenen Es die darin vorkommen... leider fehlt mir dazu noch ein wirklicher beweis, weil das ja eigentlich eine Egenschaft der Vereinigung, und nicht des Durchschnnitts ist
vielen dank! so wollte ich es eigentlich eh machen, hab dann aber blödsinn zusammen geschrieben.
mein Merkmalraum: M = { (b1, b2, b3, b4, b5) | bi enthalten in {0,1} }
bi=0 wenn Ci nicht intakt ist
bi=1 wenn Ci intakt ist.
das Ereignis Ei (Ci ist intakt, alle anderen sind somit wurscht) lautet dann:
Ei = { (b1, b2, b3, b4, b5) | bi=1 }
Das mit dem Merkmalraum und dem Ereignis Ei ist mir nicht ganz klar.
danke sebi, das klingt logisch :)
kitty, DAS is mir schon relativ klar:
der merkmalraum is die menge der möglichen "versuchsausgänge"
es gibt ja hier die 5 componenten c1 bis c5
jeder von denen kann intakt sein oder nicht, also zb ci = 0 oder ci = 1
der merkmalraum is jetzt zb die menge {b1, b2, b3, b4, b5} wobei jedes bi 1 oder 0 sein kann, je nachdem ob diese komponente intakt is
also alle kombinationen dieser 5 bi mit 0 oder 1
und das eregins Ei heißt dass genau die componente Ci intakt is (unabhängig von allen anderen C's)
dh. allgemein: Ei ist die menge der 5 {b1,b2,b3,b4,b5} wobei nur genau das bi = 1 (also intakt) sein muss!
sportDoris
20-10-2003, 10:38
wegen dem Inklusions-Exklusions-Prinzip: das Additionstheorem ist ja eigentlich nichts anderes, als das Prinzip in eine Formel gefasst ;-)
wieder mal danke an Sebi fürs Antworten: das Problem bei dem Bsp. war anscheinend genau, dass man aufpassen muss, weil man ja 5 verschiedene Ei's hat, aber das Additionstheorem nur für 4 (!) Summanden anwendet, näml. A, B, C und D...
@ Sebi: dass die Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der darin vorkommenden Mengen ist, stimmt schon, da muss man nichts beweisen, wichtig ist nur, dass es dann gilt wenn die Mengen unabhängig von einander sind. Ein kleiner Denkanstoss dazu: W(A|B) = W(A n B) / W(B) => W(A n B) = W(A|B) * W(B) und wenn A und B unabhängig voneinander sind, ist W(A|B) dasselbe wie W(A), weil ja die Voraussetzung B nichts an A ändert.
@ Kitty: ein gewisser Zustand dieses Systems kennzeichnet sich ja dadurch, ob die 5 Ci's intakt, oder nicht intakt sind, d.h. ein Eintrag in diesem Merkmalraum muss genau kennzeichnen, welches Ci intakt ist und welches nicht. genau das ist in diesem Tupel (b1, b2, b3, b4, b5) zusammengefasst.
Ein Bsp.: (1, 0, 0, 1, 0) würde heißen, dass C1 und C4 gerade intakt sind, die anderen 3 nicht.
das Ereignis Ei soll ja darstellen, dass Ci intakt ist, aber alle anderen Cj's sind ja in dem Fall wurscht, also kann man für Ei alle Tupel nehmen, wo das richtige bi=1 ist, aber alle anderen bj's sind egal.
wenn man dann den Durchschnitt von zwei so Ei's, z.B. E1 und E2 nimmt, dann ist das genau die Menge von Tupeln, wo b1 und b2 1 sind, die anderen drei b's, also b3, b4 und b5 sind egal.
sportDoris
20-10-2003, 10:39
@ Kitty: jetzt hast durch Zufall sogar zwei Antworten bekommen, kannst dir aussuchen, welche Formulierung du besser verstehst, richtig sind beide ;-)
doris, ich war nur ein bissi stolz dass ich auch mal was verstanden hab ;-)
sportDoris
20-10-2003, 10:52
passt schon, ich gratuliere! ;-)
Unic0der
20-10-2003, 12:59
Mir ist leider noch immer nicht ganz klar, wieso man, nachdem man sich die einzelnen Summanden ausgerechnet hat folgendes macht:
z.B. aus (E1nE4)+(E2nE4) p^3 macht
Genau gesagt stellt sich hier mir die Frage: Wieso gerade quadrieren?
Bitte um kurze Erklärung ;)
Matthias
20-10-2003, 13:04
Mir ist leider noch immer nicht ganz klar, wieso man, nachdem man sich die einzelnen Summanden ausgerechnet hat folgendes macht:
z.B. aus (E1nE4)+(E2nE4) p^3 macht
Hier gibt es 3 Ereignisse, die eintreten müssen: E1, E2 und E4 (E4 kommt ja doppelt vor). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt ist p, wenn nun alle 3 eintreten sollen, dann gilt die Wahrscheinlichkeit p^3.
matthias
Unic0der
20-10-2003, 13:08
jetzt ist's klar - thx! :)
Danke für die tollen Erklärungen!
A=(E1nE4), B=(E2nE4), C=(E2nE5), D=(E3nE5)
W(E)=W(A+B+C+D-((AnB)+(AnC)+(AnD)+(BnC)+(BnD)+(CnD))+(AnBnC)+(AnB nD)+(AnCnD)+(BnCnD)-(AnBnCnD))=
=p^2+p^2+p^2+p^2-(p^3+p^4+p^4+p^3+p^4+p^3)+(p^4+p^5+p^4+p^5)-p^5=
=.....
laut dem müßte rauskommen:
4*p^2 - 3*p^3 - p^4 + p^5
also mir kommt was anderes raus:
nämlich:
4*p^2 - 3*p^3
weil ich für W(BnCnD)=p^4 bekomm und nicht W(BnCnD)=p^5
wobei B=E2nE4, C=E2nE5, D=E3nE5
weil ich für W(BnCnD)=p^4 bekomm und nicht W(BnCnD)=p^5
In den beiden Zeilen ist nur die Reihenfolge der Summanden verschieden.
sportDoris
21-10-2003, 09:54
laut dem müßte rauskommen:
4*p^2 - 3*p^3 - p^4 + p^5
also mir kommt was anderes raus:
nämlich:
4*p^2 - 3*p^3
weil ich für W(BnCnD)=p^4 bekomm und nicht W(BnCnD)=p^5
wobei B=E2nE4, C=E2nE5, D=E3nE5
das erste Ergebnis (4*p^2 - 3*p^3 - p^4 + p^5) stimmt schon...
es ist aber W(AnCnD) = p^5
A=E1 n E3
weil da hat man alle E's von 1 bis 5 dabei...
ahja danke :)
glaub es war gestern einfach schon zu spät....
jedoch wenn du den Durchschnitt von 2 bildest, dann ist die Hochzahl immer nur die Anzahl der verschiedenen Es die darin vorkommen... leider fehlt mir dazu noch ein wirklicher beweis,
hier der beweis:
AnB = (E1 n E4) n (E2 n E4) = E1 n E4 n E2 n E4 = E1 n E2 n E4
lg JayJay
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