2.1

[sportDoris]

n=geschnitten, N=Schnitt über...
u=vereinigt, U=Vereinigung aller...

Bsp. a:
=====

z.z.: W( U (1 bis n) Ai )<=sum (1 bis n) W(Ai)

hier lässt uns mal wieder die vollständige Induktion nicht aus:

zuerst die Basis:
i=1: W(A1)<=W(A1) (haha)
i=2: W(A1 u A1) = W(A1) + W(A2) - W(A1 n A2) <= W(A1) + W(A2), weil W(A1 n A2) sicher positiv ist, und wenn man einen positiven Wert, der abgezogen wird, weglässt, wird das ganze größer

nun der Schritt von n auf n+1, ich gehe von der linken Seite aus:

W( U (1 bis n+1) Ai ) = W( (U (1 bis n) Ai) u An+1) = ...

auf der rechten Seite hab ich nun die Vereinigung über zwei Ausdrücke, nämlich das U(...) und das An+1. für diese beiden wende ich das gleiche an, wie oben bei i=2:

... = W( U (1 bis n) Ai) + W(An+1) - W( [U(1 bis n)Ai] n An+1) <= ...

der dritte Ausdruck, der abgezogen wird, ist wieder sicher >= 0, somit werde ich größer, wenn ich ihn weglasse:

... <= W( U (1 bis n) Ai) + W(An+1) <= ...

der linke Ausdruck kommt ja genau bei der Ungleichung mit Mengen bis An vor, da wir aber gerade die Ungleichung für n+1 beweisen wollen, können wir von der Ungleichung für n als gegeben ausgehen, d.h. ich verwende jetzt genau diese Ungleichung und setze für W( U (1 bis n) Ai) etwas größeres ein:

<= sum (1 bis n) W(Ai) + W(An+1) = sum (1 bis n+1) W(Ai) q.e.d.

[sportDoris]

Bsp. b:
=====

z.z.: W( N (1 bis n) Ai ) >= sum (1 bis n) W(Ai) - (n-1)

auch hier hilft die vollständige Induktion:

zuerst die Basis:
i=1: W(A1)>=W(A1) (haha)
i=2: W(A1 n A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 u A2) >= W(A1) + W(A2) -1, weil W(A1 u A2) sicher <=1 ist, und wenn man mehr wegnimmt, wird das ganze weniger

nun der Schritt von n auf n+1, ich gehe wieder von der linken Seite aus:

W( N (1 bis n+1) Ai ) = W( [N (1 bis n) Ai] n An+1 ) = ...

auf der rechten Seite stehen wieder zwei Ausdrücke, nämlich der mit dem N(...) und An+1. Ich wende wieder dasselbe wie bei i=2 an:

... = W( [N (1 bis n) Ai] ) + W(An+1) - W( [N (1 bis n) Ai] u An+1) >= ...

da der rechteste Ausdruck eine Wahrscheinlichkeit ist, ist er sicher <=1, wenn ich ihn durch 1 ersetze, werd ich somit kleiner:

... >= W( [N (1 bis n) Ai] ) + W(An+1) - 1 >= ...

der linke Ausdruck kommt ja genau bei der Ungleichung mit Mengen bis An vor, da wir aber gerade die Ungleichung für n+1 beweisen wollen, können wir von der Ungleichung für n als gegeben ausgehen, d.h. ich verwende jetzt genau diese Ungleichung und setze für W( [N (1 bis n) Ai] ) etwas kleineres ein:
... >= sum (1 bis n) W(Ai) - (n-1) + W(An+1) -1 = ...

durch Umformung:

... = sum (1 bis n+1) W(Ai) - n q.e.d.

[ibins]

@Bsp. a)

ich muss sagen, ich häng da bei dem Schritt von n auf n+1 :(

Wenn man die Formel für W( U (1 bis n) A_i ) aus der Vo verwendet, dann kommen ja wenn man statt n (n+1) verwendet, n+1 Teilmengen dazu, und nicht nur W(A_(n+1)) und W( U (1 bis n) A_i u A_(n+1)).

Oder ist das hier schon enthalten, wo ja Durchschnitt anstatt Vereinigung verwendet wird???

W( U (1 bis n) Ai) + W(An+1) - W( [U(1 bis n)Ai] n An+1)

Irgendwie steh ich da voll auf der Leitung ...

[sportDoris]

wenn man statt n (n+1) verwendet, kommt nur eine Teilmenge dazu, weil zuerst warens n Teilmengen, und jetzt bilden wir die Vereinigung von n+1 Teilmengen.

das ich die Vereinigung [U (1 bis n+1) A_i] anders anschreib, nämlich als
[U (1 bis n) A_i] u A_n+1 ist nur eine Umformung. dann betrachte ich die Vereinigung über n Mengen als EINEN Ausdruck (ist ja auch nichts anderes als eine Menge) und A_n+1 ist dann der zweite Ausdruck, d.h. ich verwende für die beiden Ausdrücke die Formel W(A u B) = W(A) + W(B) - W(A n B), das ist dann genau die Zeile, die du in der Quote stehen hast.

[the_unclean]

genügt es zu Punkt a nicht einfach zu sagen daß AnB = W(A)*W(B) entspricht

und daß dieses Produkt bei zahlen <1 immer kleiner ist als die Summe derselben?

Die vollständige Induktion sagt mir da eher weniger zu:(

Greets
maz

[sportDoris]

genügt es zu Punkt a nicht einfach zu sagen daß AuB = W(A)*W(B) entspricht und daß dieses Produkt bei zahlen <1 immer kleiner ist als die Summe derselben?

aufpassen, du hast da die Formeln verdreht:

W(AnB) = W(A) * W(B) und das auch nur, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander sind, ansonsten ist W(AnB) = W(A|B) * W(B)


hier noch ein kleines Gegenbeispiel: Wenn B genau das Komplement von der Menge A ist, dann ist AuB ja die ganze Menge, somit wäre dann W(AuB)=1 und nicht W(A)*(1-W(A))

[the_unclean]

Ah ja danke, is mir auch schon aufgefallen
Da du dich ja gut auskennst bei dem Thema:
wie genau is das mit der Summenformel wirklich
Angenommen ich habe 5 Maschinen von denen jede mit 20% P ein schlechtes Stück herstellt
dann is die P ein schlechtes Stück zu bekommen ja die Summe aller einzelWs
Soll daß heißen daß ich beim obigen Bsp eine W(schlechtes stück) von 1 habe??
das is doch eher nicht wahrscheinlich , oder? :)
greets
maz

[sportDoris]

ein Tip am Anfang: beim Bsp. 2.6 kommt die Formel auch zu tragen...

ich versuchs mal:

die Formel lautet ja:

W(U (1 bis n) A_k) = sum ({i_1, ..., i_m} enthalten in {1, ..., n}) ( (-1)^(m-1) * W( A_i_1 n ... n A_i_m) )

ganz wichtig ist, dass das m alle Größen von 1 bis n durchläuft, d.h. am besten geht man systematisch vor mit steigendem m:

ich glaub, ein paar Bsp. mit nicht so großem n machen das deutlich:

n=2: W(A_1 u A_2) = ...
so, für die {i_1, ..., i_m} hab ich jetzt folgende Möglichkeiten:
{1}, {2}, {1, 2}
für diese drei Mengen bilde ich die Summanden:
... = W(A_1) + W(A_2) - W(A_1 n A_2)

n=3: W(A_1 u A_2 u A_3) = ...
für die {i_1, ..., i_m} gibt es folgende Möglichkeiten:
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
ich bilde wieder für alle Mengen die Summanden:
... = W(A_1) + W(A_2) + W(A_3) - W(A_1 n A_2) - W(A_1 n A_3) - W(A_2 n A_3) + W(A_1 n A_2 n A_3)

ist es jetzt schon verständlich?

für dein Problem wäre dann i=5, ich versuch mal, alle Mengen aufzuschreiben:
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}
so, wenn man dann W(Ai) mit 1/5 annimmt, wäre W(Ai n Aj)=(1/5)² wenn i nicht j ist, die Wahrscheinlichkeit vom Durchschnitt von drei Mengen wäre (1/5)^3, usw.
die Summanden anschreiben lass ich jetzt weg (selber probieren!), das Ergebnis wäre dann sowas wie:
5*(1/5) - 10*(1/5)^2 + 10*(1/5)^3 - 5*(1/5)^4 + (1/5)^5 = 2101/3125

das kann man nachprüfen, wenn man die Wahrsch., ein schlechtes Stück zu bekommen, über die Gegenwahrsch. ausrechnet, nämlich:
1-(4/5)^5 = 2101/3125

[Kitty]

zuerst die Basis:
i=1: W(A1)>=W(A1) (haha)
i=2: W(A1 n A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 u A2) >= W(A1) + W(A2) -1, weil W(A1 u A2) sicher <=1 ist, und wenn man mehr wegnimmt, wird das ganze weniger
Wieso ist (A1 u A2) sicher <=1 ?

[sportDoris]

es ist nicht (A1 u A2) <= 1, sonder die Wahrscheinlichkeit W(A1 u A2)<=1 und das ist bei allen Wahrscheinlichkeiten, egal von welcher Menge, so, ist einfach so definiert...

[Kitty]

aja, danke

[die gute seite]

Bsp. b:
=====

z.z.: W( N (1 bis n) Ai ) >= sum (1 bis n) W(Ai) - (n-1)
.......
durch Umformung:

... = sum (1 bis n+1) W(Ai) - n q.e.d.
Aber müsste da nicht noch +1 stehen? (wegen dem -(n-1)) mein ich?

[sportDoris]

nö, weil wenn man in (n-1) statt n (n+1) einsetzt, dann ist das nur n

[gernot]

Ich habe folgendes Problem
die Zeile habe ich noch gleich

Summe(i=1...n)[W(Ai)-(n-1)] + W(An+1)-1)

jetzt versuche das umzuformen

Summe(i=1...n)[W(Ai)] + W(An+1) - Summe(i=1...n)[n-1] - 1

Summe(i=1...n+1)[W(Ai)] - ( Summe(i=1...n)[n-1] + 1 )

so jetzt der Teil ist ja schon mal super:
Summe(i=1...n+1)[W(Ai)]

Aber den Teil probier ich jetzt auch zu rechnen
Summe(i=1...n)[n-1] + 1 = n*(n-1) + 1 = n²-n+1
Und wie bringe ich das jetzt wieder in den Summe(i=1...n+1)[..] hinein

Danke im voraus
Gernot

[lEn00x]

Bsp. b:
=====
zuerst die Basis:
i=1: W(A1)>=W(A1) (haha)
i=2: W(A1 n A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 u A2) >= W(A1) + W(A2) -1, weil W(A1 u A2) sicher <=1 ist, und wenn man mehr wegnimmt, wird das ganze weniger

Sollte hier nicht anstatt "W(A1 u A2)" "W(A1 n A2)" stehen?

[sportDoris]

jetzt versuche das umzuformen

Summe(i=1...n)[W(Ai)] + W(An+1) - Summe(i=1...n)[n-1] - 1

aufpassen! dieses n-1 steht nicht in der Summe, das ist einfach nur EIN Term

[sportDoris]

i=2: W(A1 n A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 u A2) ...

Sollte hier nicht anstatt "W(A1 u A2)" "W(A1 n A2)" stehen?

ich hoffe, du meinst eh genau diese Zeile...

ursprünglich ist die Formel ja für W(A1 u A2), nämlich:

W(A1 u A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 n A2)

wenn du jetzt aber das W(A1 u A2) und das W(A1 n A2) jeweils auf die andere Seite bringst (mit - bzw. +), dann hast du stehen:

W(A1 n A2) = W(A1) + W(A2) - W(A1 u A2)

[lEn00x]

stimmt, das habe ich total übersehen.

[thewulf]

Warum wird bei Beispiel b) nicht das Multiplikationstheorem angewandt?

Wenn man jetzt zB W(A1 n A2 n A3) mit dem umgeformten Additionstheorem ausdrücken will komme ich ins schleudern.

Nehmen wir an wir haben

W(A1 u A2 u A3), so kann ich dass mit dem Additionstheorem folgendermaßen ausdrücken:

W(A1 u A2 u A3) = W(A1) + W(A2) + W(A3) - W(A1 n A2) - W(A1 n A3) - W(A2 n A3) + W(A1 n A2 n A3)

jetzt drücke ich mir aus dem Additionstheorem den letzten Term aus:

-W(A1 n A2 n A3) = W(A1) + W(A2) + W(A3) - W(A1 n A2) - W(A1 n A3) - W(A2 n A3) - W(A1 u A2 u A3)

jetzt multipliziere ich die Gleichung mit -1:

W(A1 n A2 n A3) = - W(A1) - W(A2) - W(A3) + W(A1 n A2) + W(A1 n A3) + W(A2 n A3) + W(A1 u A2 u A3)


Versucht einmal, das Additionstheorem direkt auf W(A1 n A2 n A3) anzuwenden: Funktioniert das? Ist hier nicht die falsche Regel angewandt worden? Oder hab ich da irgendwas übersehen?

mfg
thewulf

[_ElGato_]

(Fortsetzung von thewulf)


wenn wir für W(A1 n A2 n A3) das Additionstheorem anwenden (auch wenn nach unserer ansicht das Multiplikationstheorem angewandt gehört), führt das zu einem widerspruch, weil:

W(A1 n A2 n A3) (sollte A1 u A2 u A3 sein) = ...

W(A1) + W(A2) + W(A3) - W(A1 n A2) - W(A1 n A3) - W(A2 n A3) + W(A1 n A2 n A3)


der Term W(A1 n A2 n A3) steht somit auf der linken UND auf der rechten seite! das kann unmöglich eine gleichung sein, weil die übrigen Terme W(A1) + W(A2) ... vorkommen!

W(A1 u A2 u A3) = W(A1) + W(A2) usw...

dann steckt hier aber W( U Ai ) in der Formel. Wie kratzt man jetzt die Kurve zur Bonferronschen Ungleichen, in der ja ein W ( N Ai) (daher das Multiplikationstheorem) drinnen steckt???

[sportDoris]

warum ich nicht das Multiplikationstheorem anwende? ganz einfach, weil ich es ohne Multiplikationstheorem geschafft habe... ;-)

nö, aber mal im Ernst, ich weiß schon wo euer Fehler liegt. Ihr wollt es für drei Mengen auch noch ausprobieren, also zeig ich euch mal den Trick für drei Mengen:

Wichtig für mein Beweis ist eigentlich auch gar nicht das Additionstheorem, sondern diese Formel für zwei Mengen:

W(A u B) = W(A) + W(B) - W(A n B), die man umformen kann, sodass man erhält:

W(A n B) = W(A) + W(B) - W(A u B) (funktioniert mit + und -)

der Trick bei der Sache ist, dass man den Durchschnitt über viele Mengen als Durchschnitt von zwei Mengen anschreiben kann, nämlich als eine einzelne Menge geschnitten mit [dem Durchschnitt über mehrere Mengen], der in dem Fall in einer eckigen Klammer steht, weil das ja eigentlich auch nur eine Menge ist.

ich erläuter mal das ganze für 3 Mengen, daran kann man eh auch den Induktionsschritt erkennen:

W(A1 n A2 n A3) = ...

ich schreib es anders an, ich fasse A1 n A2 als eine Menge zusammen:

... = W( (A1 n A2) n A3) = ...

so, jetzt hab ich da zwei Mengen, nämlich (A1 n A2) als EINE Menge und A3 als die andere. Ich wende die oben genannte wichtige Formel an:

... = W( (A1 n A2) ) + W(A3) - W( (A1 n A2) u A3) >= ...

ich setzt für W(A1 n A2) das ein, was ich von i=2 her schon weiß, und werd somit kleiner (das ist der wichtige Induktionsschritt)

... >= W(A1) + W(A2) - 1 + W(A3) - W( (A1 n A2) u A3) >= ...

für die letzte Wahrscheinlichkeit ( W( (A1 n A2) u A3) ) setzt ich 1 ein, das ist sicher größer, mit einem Minus davor werd ich somit noch einmal kleiner:

... >= W(A1) + W(A2) - 1 + W(A3) -1 = W(A1) + W(A2) + W(A3) -2 q.e.d.

ich hoffe, jetzt ist es verständlich.




und nochmal zum Multiplikationstheorem: da würd ich dann ein Produkt von einigen Wahrscheinlichkeiten bekommen, ein Produkt kommt aber nirgends vor, also brauch ich es auch nicht. und noch was: ich glaub, das Multiplikationstheorem kann man so wirklich nur anwenden, wenn die Ereignisse unabhängig sind...

[thewulf]

habs jetzt verstanden, danke!

[sportDoris]

bitte, bitte, kein Problem