sportDoris
16-10-2003, 12:24
hier meine Lösung, bitte nicht erschrecken, dass sie so lange ist, das ist nur wegen den Erklärungen, auf meinem Collegeblock sind es 4 Zeilen...
Angabe: Int (e^x/(e^(2x)-e^x-6)) dx
da diese Funktion etwas kompliziert wirkt und auch nicht sofort so mir-nichts-dir-nichts integriert werden kann, versuch ich's mal mit Partialbruchzerlegung:
wenn man genau hinschaut kann man erkennen, dass der Nenner eine quadratische Gleichung in e^x ist, d.h. ich kann ihn zerlegen:
e^(2x)-e^x-6=0 daraus folgt: e^x=1/2+-sqrt(1/4+6) und wenn man das ausrechnet e^x=-2 oder e^x=3, d.h. ich kann den Nenner aufteilen in (e^x-3)*(e^x+2).
jetzt möchte ich die Funktion in einen Term der Form
A/(e^x+2) + B/(e^x-3) zerlegen, d.h. es muss gelten:
A/(e^x+2) + B/(e^x-3) = e^x / (e^(2x)-e^x-6)
ich bringe die linke Seite auf einen Bruchstrich, im Nenner steht dann das selbe, wie im Nenner auf der rechten Seite, d.h. ich lass den Nenner auf beiden Seiten auch gleich weg:
A*(e^x-3) + B*(e^x+2) = e^x
und wenn ich die Klammern auflöse und anders zusammenfasse:
e^x * (A+B) + (2B-3A) = e^x
So, jetzt mach ich einen Koeffizientenvergleich, d.h. der Koeffizient von e^x und der konstante Werd müssen auf beiden Seiten gleich sein:
A+B = 1
2B-3A = 0
nun bekomm ich für A=2/5 und für B=3/5, d.h. ich kann die ursprüngliche Funktion nun so anschreiben (1/5 heb ich gleich heraus):
1/5 * (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3))
d.h. was wir suchen ist:
Int (1/5 * (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3))) dx
das 1/5 zieh ich nun vor das Integral (ist ja ein konstanter Faktor) und muss somit nur mehr dieses Integral ausrechnen:
Int (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3)) dx
den Faktor 1/5 geb ich halt am Schluss wieder dazu.
Nun wende ich einen kleinen Trick an, es wird nachher ersichtlich, warum. Ich ziehe nach dem ersten Bruch 1 ab und geb es nach dem zweiten Bruch wieder dazu, ändern tut sich ja am Gesamtwert dadurch nichts:
Int (2/(e^x+2) -1 + 3/(e^x-3) +1) dx
Nun erweiter ich die beiden 1er auf jeweils den Nenner von dem Bruch neben ihnen und schreib sie auch gleich auf den Bruch dazu:
Int ( (2-e^x-2)/(e^x+2) + (3+e^x-3)/(e^x-3) ) dx
+2-2 und +3-3 fallen weg, es steht nun da:
Int ( -e^x/(e^x+2) + e^x/(e^x-3) ) dx
An dieser Stelle brauch ich nun einen kleinen Hilfssatz:
Int ( f'(x)/f(x)) dx = ln ( Betrag(f(x)) ) +c
dieser Satz lässt sich auch ganz leicht beweisen, nämlich durch Ableiten von der rechten Seite. mit Hilfe der Kettenregel (der Betrag ist einfach zu ignorieren) bekomm ich 1/f(x) als Ableitung von ln und das ganze mal f'(x) als innere Ableitung also:
(ln(f(x)))' = f'(x)/f(x) q.e.d
diesen Satz kann ich anwenden, weil die beiden Brüche, die ich in meinem Integral stehen hab, genau von der Form f'(x)/f(x) sind, nachzuprüfen, indem man den Nenner ableitet und genau auf den Zähler kommt.
deswegen bekomm ich für dieses Integral:
- ln ( Betrag(e^x+2) ) + ln ( Betrag(e^x-3) )
nach der Formel ln(a)-ln(b)=ln(a/b) bekomm ich dann
ln ( Betrag ( (e^x-3)/(e^x+2) ) )
nun schreib ich noch den Faktor 1/5, den wir vorher weggelassen haben, wieder dazu und bekomme als Lösung:
1/5 * ln ( Betrag ( (e^x-3)/(e^x+2) ) )
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Angabe: Int (e^x/(e^(2x)-e^x-6)) dx
da diese Funktion etwas kompliziert wirkt und auch nicht sofort so mir-nichts-dir-nichts integriert werden kann, versuch ich's mal mit Partialbruchzerlegung:
wenn man genau hinschaut kann man erkennen, dass der Nenner eine quadratische Gleichung in e^x ist, d.h. ich kann ihn zerlegen:
e^(2x)-e^x-6=0 daraus folgt: e^x=1/2+-sqrt(1/4+6) und wenn man das ausrechnet e^x=-2 oder e^x=3, d.h. ich kann den Nenner aufteilen in (e^x-3)*(e^x+2).
jetzt möchte ich die Funktion in einen Term der Form
A/(e^x+2) + B/(e^x-3) zerlegen, d.h. es muss gelten:
A/(e^x+2) + B/(e^x-3) = e^x / (e^(2x)-e^x-6)
ich bringe die linke Seite auf einen Bruchstrich, im Nenner steht dann das selbe, wie im Nenner auf der rechten Seite, d.h. ich lass den Nenner auf beiden Seiten auch gleich weg:
A*(e^x-3) + B*(e^x+2) = e^x
und wenn ich die Klammern auflöse und anders zusammenfasse:
e^x * (A+B) + (2B-3A) = e^x
So, jetzt mach ich einen Koeffizientenvergleich, d.h. der Koeffizient von e^x und der konstante Werd müssen auf beiden Seiten gleich sein:
A+B = 1
2B-3A = 0
nun bekomm ich für A=2/5 und für B=3/5, d.h. ich kann die ursprüngliche Funktion nun so anschreiben (1/5 heb ich gleich heraus):
1/5 * (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3))
d.h. was wir suchen ist:
Int (1/5 * (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3))) dx
das 1/5 zieh ich nun vor das Integral (ist ja ein konstanter Faktor) und muss somit nur mehr dieses Integral ausrechnen:
Int (2/(e^x+2) + 3/(e^x-3)) dx
den Faktor 1/5 geb ich halt am Schluss wieder dazu.
Nun wende ich einen kleinen Trick an, es wird nachher ersichtlich, warum. Ich ziehe nach dem ersten Bruch 1 ab und geb es nach dem zweiten Bruch wieder dazu, ändern tut sich ja am Gesamtwert dadurch nichts:
Int (2/(e^x+2) -1 + 3/(e^x-3) +1) dx
Nun erweiter ich die beiden 1er auf jeweils den Nenner von dem Bruch neben ihnen und schreib sie auch gleich auf den Bruch dazu:
Int ( (2-e^x-2)/(e^x+2) + (3+e^x-3)/(e^x-3) ) dx
+2-2 und +3-3 fallen weg, es steht nun da:
Int ( -e^x/(e^x+2) + e^x/(e^x-3) ) dx
An dieser Stelle brauch ich nun einen kleinen Hilfssatz:
Int ( f'(x)/f(x)) dx = ln ( Betrag(f(x)) ) +c
dieser Satz lässt sich auch ganz leicht beweisen, nämlich durch Ableiten von der rechten Seite. mit Hilfe der Kettenregel (der Betrag ist einfach zu ignorieren) bekomm ich 1/f(x) als Ableitung von ln und das ganze mal f'(x) als innere Ableitung also:
(ln(f(x)))' = f'(x)/f(x) q.e.d
diesen Satz kann ich anwenden, weil die beiden Brüche, die ich in meinem Integral stehen hab, genau von der Form f'(x)/f(x) sind, nachzuprüfen, indem man den Nenner ableitet und genau auf den Zähler kommt.
deswegen bekomm ich für dieses Integral:
- ln ( Betrag(e^x+2) ) + ln ( Betrag(e^x-3) )
nach der Formel ln(a)-ln(b)=ln(a/b) bekomm ich dann
ln ( Betrag ( (e^x-3)/(e^x+2) ) )
nun schreib ich noch den Faktor 1/5, den wir vorher weggelassen haben, wieder dazu und bekomme als Lösung:
1/5 * ln ( Betrag ( (e^x-3)/(e^x+2) ) )
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