Lösung Beispiel 1.4

[locutus]

Die 2n Teams werden auf die Gruppen A und B aufgeteilt. Somit kann man jede Gruppe als Variation von n-elementigen Teilmengen einer 2n-elementigen Menge ohne Wiederholung interpretieren und als Bit-String der Länge 2n mit n 1ern und n 0ern darstellen.

Der Merkmalraum hat somit eine Kardinalität gleich der Anzahl von Variationen ohne Wiederholung und das ist in diesem Fall

"2n unten n" = (2n)!/(2n-n)!

|M| = Produkt(von x=1; bis x=n; n+x)

Wenn ich 2 Bitpositionen a und b als die Nummern der 2 besten Teams bestimme, dann gibt es folgende Möglichkeiten.

<...a...b...>
<...0...0...>
<...0...1...>
<...1...0...>
<...1...1...>

Die Kardinalität der Ereignismenge liefere ich noch nach ... um 0300 in der Früh lässt die Konzentration langsam nach und morgen um 0830 is wieder Vorlesung :eek2:

[Bug]

Ich würde folgendermaßen argumentieren:

Da uns sowieso nur die 2 stärksten Mannschaften interessieren, gibt es nur 4 mögliche "Versuchsausgänge":
1. Beide in Gruppe 1
2. Beide in Gruppe 2
3. Stärkste Mannschaft in Gruppe 1 und die andere in Gruppe 2
4. Stärkste Mannschaft in Gruppe 2 und die andere in Gruppe 1

Die interessierten Ereignisse sind 1. und 2.

Somit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 (50%)

[Matthias]

[edit: da war einer ein bißchen schneller... würde ich auch so sehen :) ]

[Schof]

Seh ich auch so, 4 mögliche Ausgänge, von denen 2 günstig sind, also 0,5

[Judas42]

Ich würde folgendermaßen argumentieren:

Da uns sowieso nur die 2 stärksten Mannschaften interessieren, gibt es nur 4 mögliche "Versuchsausgänge":
1. Beide in Gruppe 1
2. Beide in Gruppe 2
3. Stärkste Mannschaft in Gruppe 1 und die andere in Gruppe 2
4. Stärkste Mannschaft in Gruppe 2 und die andere in Gruppe 1

Die interessierten Ereignisse sind 1. und 2.

Somit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 (50%)
Nach dieser Arugmentation hätten wir beim Geburtstagsproblem auch nur 2 Ausgänge:
1. Es hat einer am gleichen Tag Geburtstag wie ich
2. Eben nicht

Ich seh das folgendermaßen:
Wir haben 2 mögliche Ausgänge (gleiche Gruppe oder nicht). Da die Gruppen 1 und 2 austauschbar sind, können wir o.B.d.A. festlegen, daß Team A in Gruppe 1 ist. Für Gruppe B bleiben dann noch n-1 Plätze in Gruppe 1 und n Plätze in Gruppe 2.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, das die beiden Teams in der gleichen Gruppe sind liegt bei (n-1)/(2n-1).

[kill_switch]

Der Ansatz gefällt mir!
Da ging mir doch glatt ein Licht auf

[Sebi]

Nach dieser Arugmentation hätten wir beim Geburtstagsproblem auch nur 2 Ausgänge:
1. Es hat einer am gleichen Tag Geburtstag wie ich
2. Eben nicht

Ich seh das folgendermaßen:
Wir haben 2 mögliche Ausgänge (gleiche Gruppe oder nicht). Da die Gruppen 1 und 2 austauschbar sind, können wir o.B.d.A. festlegen, daß Team A in Gruppe 1 ist. Für Gruppe B bleiben dann noch n-1 Plätze in Gruppe 1 und n Plätze in Gruppe 2.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, das die beiden Teams in der gleichen Gruppe sind liegt bei (n-1)/(2n-1).
*freu* auf das komm ich auch, und hätts auch so argumentiert...

[SIEBEN]

Ich seh das folgendermaßen:
Wir haben 2 mögliche Ausgänge (gleiche Gruppe oder nicht). Da die Gruppen 1 und 2 austauschbar sind, können wir o.B.d.A. festlegen, daß Team A in Gruppe 1 ist. Für Gruppe B bleiben dann noch n-1 Plätze in Gruppe 1 und n Plätze in Gruppe 2.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, das die beiden Teams in der gleichen Gruppe sind liegt bei (n-1)/(2n-1).

Würd ich so auch meinen denn die

Wahrscheinlichkeit P =
die günstigen elementaren Ereignisse (dass B einen der n-1 Plätze einnimmt) /
die möglichen elementaren Ereignisse (die Plätze aus beiden Gruppen (n-1)+n)

[mas]

mhm.....bin irgendwie davon nicht ganz so überzeugt!

die Wahrscheinlichkeit würde ja nur dann stimmen wenn wir zuerst für eine der beiden stärksten Teams Gruppe A oder B auslosen - und dann SOFORT betrachten wie wahrscheinlich es ist, dass das andere Team in die selbe Gruppe kommt - dann stimmt es schon, dass (n-1) / (2n-1) die Wahrscheinlichkeit ist!

[Tom]

bin mir ziemlich sicher, dass (n-1)/(2n-1) stimmt, weil ichs mit n=2 und n=3 (mühsam!) nachgerechnet hab, indem ich alle möglichkeiten aufgeschrieben hab.

aber irgendwie find ich keine mathematische erklärung dafür, warum es stimmen soll. dass man das erste team in einer gruppe fixieren kann, ist klar auf grund der symmetrie. dann bleiben noch 2n-1 teams übrig, aus denen n-1 mal gezogen wird. nur glaube ich jetzt, dass man das nicht so einfach dividieren kann, da sich ja nach jedem zug die wahrscheinlichkeit ändert, dass das zweite starke team dabei is.

beim 1. zug: 1/(2n-1)
beim 2. zug: 1/(2n-2)*(1-1/(2n-1))
beim 3. zug: 1/(2n-3)*(1-1/(2n-1))*(1-1/(2n-2))
usw.

und das ganze aufsummiert ist dann die gesamtwahrscheinlichkeit.

das "mal irgendwas" kommt daher, dass es ja nicht nur zb. beim 3. zug dabei sein muss, sondern auch (daher *) bei allen zügen davor (1. und 2.) nicht dabei sein durfte usw. das ganze kann man dann addieren, da es entweder beim 1. oder (daher +) beim 2. usw. dabei sein kann.

wenn man das so rechnet, kommt man auf das selbe ergebnis wie mit der formel (n-1)/(2n-1). nur weiß ich jetzt nicht, wie ich von meinem komplizierten ansatz auf das einfache komme und dabei mathematisch korrekt argumentiere.

irgendwelche erklärungen für die formel (n-1)/(2n-1)?

[Unic0der]

die Wahrscheinlichkeit würde ja nur dann stimmen wenn wir zuerst für eine der beiden stärksten Teams Gruppe A oder B auslosen
Das ist IMHO hinfällig, weil wir uns eh nur für A und B interessieren und ja aus der Angabe herausgeht dass in beiden Gruppen exakt gleich viele Teams sind.

Logischerweise sollte also (n-1)/(2n-1) eh stimmen. :)

[Tom]

Das ist IMHO hinfällig, weil wir uns eh nur für A und B interessieren und ja aus der Angabe herausgeht dass in beiden Gruppen exakt gleich viele Teams sind.

Logischerweise sollte also (n-1)/(2n-1) eh stimmen. :)
(n-1)/(2n-1) stimmt sicher, nur is mir diese erklärung irgendwie doch zu unmathematisch...??

[Unic0der]

(n-1)/(2n-1) stimmt sicher, nur is mir diese erklärung irgendwie doch zu unmathematisch...??
Tja, dann hoffe ich mal dass ich den richtigen Übungsgruppenleiter erwischt habe ;) , oder bei dem Beispiel nicht drankomme :D .

[Flowyes]

Ich hab hier auch Probleme, wenn ich eure Postings nicht gelesen hätte würde ich sofort sagen:
P(Die beiden Teams sind in der gleichen Gruppe) = 0.5 (kann mich aus dieser intuitiven Überzeugung nicht retten)
4 günstige Fälle, davon 2 möglich stimmt natürlich nicht.
Aber jetzt bin ich verwirrt...

[ibins]

naja, das ist so:
du kannst ohne Beschränkung der Allgemenheit annehmen, dass die beiden besten Teams die beiden ersten sind, die eingeteilt werden. Dann schaust du: in jeder Gruppe gibt's n Plätze.
Nun nimmst du o.B.d.A an, dass die eine Mannschaft in der ersten Gruppe landet.
Dann hast du:
das günstige Ereignis ist, dass die zweite Mannschaft in die erste Gruppe kommt - dort gibt es noch n-1 Plätze
die möglichen Ereignisse sind alle 2n-1 freien Plätze ->
günstige Ereignisse/mögliche Ereignisse = (n-1)/(2n-1)

hth

[Arthur Dent]

Dann hast du:
das günstige Ereignis ist, dass die zweite Mannschaft in die erste Gruppe kommt - dort gibt es noch n-1 Plätze
die möglichen Ereignisse sind alle 2n-1 freien Plätze ->
günstige Ereignisse/mögliche Ereignisse = (n-1)/(2n-1)


Klingt etwas einfacher und ist vor allem weniger Rechenaufwand als mein kombinatorischer Ansatz:


mögliche Ereignisse:
/2n\
\ n/
günstige Ereignisse:
/2n-2\
\ n-2/
(und das ganze mal 2, da ja beide Teams entweder in der ersten oder
in der zweiten Gruppe sein können)

Ein bisschen umformen und man kommt auch auf (n-1)/(2n-1).

Warum einfach machen, wenn's auch kompliziert geht?

[JayJay]

Ich hab hier auch Probleme, wenn ich eure Postings nicht gelesen hätte würde ich sofort sagen:
P(Die beiden Teams sind in der gleichen Gruppe) = 0.5 (kann mich aus dieser intuitiven Überzeugung nicht retten)
4 günstige Fälle, davon 2 möglich stimmt natürlich nicht.
Aber jetzt bin ich verwirrt...
da gibt es folgendes problem:
diese 4 fälle sind nicht gleich wahrscheinlich.
es ist die wahrscheinlichkeit höher das team a und b nicht in der selben gruppe sind.
der grund ist der das in den beiden gruppen gleich viele teams sind und zwar n teams. wenn jetzt team a in gruppe 1 ist so bleiben für team b in gruppe 1 noch n-1 plätze übrig, allerdings sind in gruppe 2 noch imma genau n plätze frei.

klarerweise ist die wahrscheinlichkeit das beide teams in der selben gruppe sind näher bei 0.5 wenn n gross gewählt wird, und kleiner wenn n klein gewählt wird.
bei n = 1 ist die wahrscheinlichkeit sogar 0.

lg JayJay

[Sebi]

(n-1)/(2n-1) stimmt sicher, nur is mir diese erklärung irgendwie doch zu unmathematisch...??
nein, ich glaube nicht dass die zu unmathematisch ist.
Da ja gilt: die Wahrscheinlichkeit ist die anzahl der günstigen durch die anzahl der möglichen fälle, braucht man nur mehr zu schaun, was ist denn günstig, und was ist möglich....

ich glaube das sollte auch noch auf einer uni mathematisch genug sein, oder?

[the_unclean]

naja, das ist so:
du kannst ohne Beschränkung der Allgemenheit annehmen, dass die beiden besten Teams die beiden ersten sind, die eingeteilt werden. Dann schaust du: in jeder Gruppe gibt's n Plätze.
Nun nimmst du o.B.d.A an, dass die eine Mannschaft in der ersten Gruppe landet.
Dann hast du:
das günstige Ereignis ist, dass die zweite Mannschaft in die erste Gruppe kommt - dort gibt es noch n-1 Plätze
die möglichen Ereignisse sind alle 2n-1 freien Plätze ->
günstige Ereignisse/mögliche Ereignisse = (n-1)/(2n-1)

hth
Meiner Meinung gibts da aber einen bösen Haken:

Und zwar nimmst du bei (n-1)/(2n-1) bereits an, daß ein gutes Team in einer Gruppe ist, aber was ihr dabei vergessen habts ist, daß das nur mit einer gewissen P der Fall ist, und diese P beeinflusst natürlich auch das Gesamtergebnis..
Ich denk eher daß das eher bedingte Wahrscheinlichkeit P(team2/team1) ist, also die P, daß Team zwei in die gruppe kommt, WENN team 1 bereits drinnen ist
was meints ihr dazu?
LG
Maz

[Sebi]

nein... das glaube ich nicht, oder von mir aus auch ja ;)

Die Wahrscheinlichkeit dass eines der teams in eine der beiden Gruppen kommt (welche wir dann genauer betrachten, weil wir nehmen ja nur die Gruppe, in die das erste der beiden stärksten teams gelost wird), ist 1.
Weil wir ja sagen, wir schauen uns die gruppe an, wo das eine team drinnen ist.
Sicher, also 100% wahrscheinlichkeit, und natürlich kann man jetzt mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen, aber wenn die Bedingung SICHER eintrifft kommt man wieder auf die normalen Wahrscheinlichkeiten...

[locutus]

Nachdem ich draufgekommen bin, dass es sich bei der Verteilung auf 2 Teams nicht um eine Variation sondern um eine Kombination handelt :hewa: komme ich auch auf (n-1)/(2n-1)