BaronPO: Induktion (juli 03)

[finyfunny]

könnte irgendwer die die lösung zu diesem bsp: ( vollständige Induktion) :

cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x)

(Hinweis: sin(2x) = 2sinx*cosx)

posten ... wär echt nett komm absolut nicht weiter bei dem :hewa:


danke im voraus :thumb:

lg finyfunny

[Neutrino]

könnte irgendwer die die lösung zu diesem bsp: ( vollständige Induktion) :

cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x)

(Hinweis: sin(2x) = 2sinx*cosx)


sei A(n) die abk. f. cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x).

um z.z. dass A(n) fuer alle n >= 1 gilt, zeigen wir, dass
- A(1) gilt
- A(n+1) gilt unter der annahme dass A(n) gilt.

A(1): z.z.: cos(x) = sin(2^1 x)/2^1 sin(x)
gilt laut Hinweis

annahme: A(n) o.k.
betrachten A(n+1):
cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x]*cos [2^n x] = sin (2^(n+1) x) / 2^(n+1) sin(x).
laut annahme gilt
cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x)
koennen also A(n+1) umformen in
sin (2^n x) / 2^n sin(x) *cos [2^n x] = sin (2^(n+1) x) / 2^(n+1) sin(x)
(habe auf der linken seite von A(n+1) die linke seite von A(n) durch die rechte ersetzt).

multiplikation mit 2^(n+1) sin(x) und kuerzen liefert
2 sin (2^n x) *cos [2^n x] = sin (2^(n+1) x)
ersetzt man 2^(n+1) durch 2*2^n auf der rechten seite,
ist das genau der hinweis mit "2^n x" statt x, stimmt also.

qed

nu

[lj_scampo]

n=2:
cos(x)*cos(2x) = sin(4x)/(4sin(x))
cos(x)*cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x)/(4sin(x))
% = 2sin(x)cos(x)cos(2x)/(2sin(x))
% = cos(x)cos(2x) -> ok

es gelte die formel fuer n.

n+1:
cos(x)cos(2)...cos(2^(n-1) x)cos(2^n x) = sin(2^(n+1) x) / (2^(n+1) sin(x))
links die formel einsetzen:
sin(2^n x)/(2^n sin(x)) * cos(2^n x) = sin(2*2^n x) / (2*2^n sin(x))
sin(2^n x)/(2^n sin(x)) * cos(2^n x) = 2sin(2^n x)cos(2^n x) / (2*2^n sin(x))
sin(2^n x)/(2^n sin(x)) * cos(2^n x) = sin(2^n x)cos(2^n x) / (2^n sin(x))
jetzt die seiten kuerzen: * 2^n sin(x) / sin(2^n x)
cos(2^n x) = cos(2^n x) -> die formel gilt


[edit] hmpf, zu langsam ;)

[finyfunny]

danke euch beiden :thumb:

den ansatz hab ich auch so aber auf den rest wär ich ne gekommen

lg finyfunny